Vektorraum/Affiner Raum/Erzeugendensystem/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $v_{1}, \dots, v_{n}$ ein Erzeugendensystem für den Vektorraum $V$ . Dann lässt sich jeder Vektor $v \in V$ als eine Linearkombination

v = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i}

darstellen. Mit

a_{0} = 1 - \sum_{i = 1}^{n} a_{i}

kann man

v = a_{0} 0 + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i}

schreiben, und dies ist eine baryzentrische Darstellung von $v$ mit den Punkten $0, v_{1}, \dots, v_{n}$ .

Wenn umgekehrt ein affines Erzeugendensystem vorliegt, so lässt sich jeder Vektor als baryzentrische Kombination

v = a_{0} 0 + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i}

mit $\sum_{i = 0}^{n} a_{i} = 0$ schreiben. Interpretiert man diese Gleichung mit dem Aufpunkt $0$ , so erhält man direkt

v = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \vec{0 v_{i}} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i} .

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