Vektorraum/Basis/Teilfamilie/Projektion/Beispiel

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}v_{i},\,i\in I$, eine Basis von ${}V$. Zu einer Teilmenge ${}J\subseteq I$ sei

${}V_{J}=\langle v_{i},\,i\in J\rangle \,$

der zu ${}J$ gehörende Untervektorraum und

$p_{J}\colon V\longrightarrow V,\,\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}\longmapsto \sum _{i\in J}a_{i}v_{i},$

die zugehörige Projektion. Das Bild dieser Projektion ist ${}V_{J}$ und man kann die Abbildung auch als

$p_{J}\colon V\longrightarrow V_{J}$

auffassen. Auf ${}V_{J}$ liegt die Identität vor. Der Kern der Abbildung ist

${}\operatorname {kern} p_{J}=\langle v_{i},\,i\not \in J\rangle \,.$