Vektorraum/Untervektorräume/Endlich/Direkte Summe/Definition

Direkte Summe (Untervektorräume)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}U_{1},\ldots ,U_{m}$ eine Familie von Untervektorräumen von ${}V$. Man sagt, dass ${}V$ die direkte Summe der ${}U_{i}$ ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Jeder Vektor ${}v\in V$ besitzt eine Darstellung

   ${}v=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}\,$

   mit ${}u_{i}\in U_{i}$.

2. ${}U_{i}\cap {\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}=0$ für alle ${}i$.