Wir führen Induktion über , also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei
ist nichts zu zeigen. Es sei die Aussage für schon bewiesen und seien linear unabhängige Vektoren
-
gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die
(ebenfalls linear unabhängigen) Vektoren
-
gibt es eine Teilmenge
derart, dass die Familie
-
eine Basis von ist. Wir wollen auf diese Basis
das Austauschlemma
anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man
-
schreiben.
Wären hierbei alle Koeffizienten
, so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der
, .
Es gibt also ein
mit
.
Wir setzen
.
Damit ist
eine -elementige Teilmenge von . Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor
durch
ersetzen und erhält die neue Basis
-
Der Zusatz folgt sofort, da eine
-elementige Teilmenge einer
-elementigen Menge vorliegt.