Vektorraum/Bidual/Natürliche Abbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $v\in V$  fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass $\Psi (v)$ eine Linearform auf dem Dualraum $V^{\ast }$ ist. Offenbar ist $\Psi (v)$ eine Abbildung von $V^{\ast }$ nach $K$. Die Additivität ergibt sich aus

$(\Psi (v))(f_1+f_2)=(f_1+f_2)(v)=f_1(v)+f_2(v)=(\Psi (v))(f_1)+(\Psi (v))(f_2),$

wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels

$(\Psi (v))(sf)=(sf)(v)=s(f(v))=s((\Psi (v))(f)).$

Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien  $v,w\in V$.  Es ist die Gleichheit

$\Psi (v+w)=\Psi (v)+\Psi (w)$

zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in ${\left(V^{\ast }\right)}^{\ast }$ ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei  $f\in V^{\ast }$  beliebig. Dann folgt die Additivität aus

$(\Psi (v+w))(f)=f(v+w)=f(v)+f(w)=(\Psi (v))(f)+(\Psi (w))(f).$

Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus

$(\Psi (sv))(f)=f(sv)=s(f(v))=s((\Psi (v))(f)).$

Zum Nachweis der Injektivität sei  $v\in V$  mit  $\Psi (v)=0$  gegeben. D.h. für alle Linearformen  $f\in V^{\ast }$  ist  $f(v)=0$.  Dann ist aber nach Fakt schon

$v=0$

und nach dem Injektivitätskriterium ist $\Psi$ injektiv.

Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage