Vektorraum/Endlich erzeugt/Länge von jeder Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien  ${}{\mathfrak {b}}=b_{1},\ldots ,b_{n}$  und  ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}$  zwei Basen von ${}V$. Aufgrund des Basisaustauschsatzes, angewandt auf die Basis ${}{\mathfrak {b}}$ und die linear unabhängige Familie ${}{\mathfrak {u}}$ ergibt sich  ${}k\leq n$.  Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt  ${}n\leq k$,  also insgesamt

 ${}n=k$. 

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