Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}{\left(\varphi +\psi \right)}^{\hat {}}={\hat {\varphi }}+{\hat {\psi }}\,.$

2. ${}{\left(s\varphi \right)}^{\hat {}}={\overline {s}}{\hat {\varphi }}\,.$

3. ${}{\left({\hat {\varphi }}\right)}^{\hat {}}=\varphi \,.$

4. ${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}^{\hat {}}={\hat {\psi }}\circ {\hat {\varphi }}\,.$

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