Vektorraum/Erzeugendensystem und aufgespannter Unterraum/Unterraumdurchschnitt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.

1. Sei ${}U_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Untervektorräumen von ${}V$. Dann ist auch der Durchschnitt

   $U=\bigcap _{j\in J}U_{j}$

   ein Untervektorraum.
2. Zu einer Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Elementen in ${}V$ ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum. Er stimmt mit dem Durchschnitt

   $\bigcap _{U\subseteq V{\text{ Untervektorraum}},\,v_{i}\in U{\text{ für alle }}i\in I}U$

   überein.

3. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn

   $\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V$

   ist.

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