Vektorraum/Fahne/Invariant unter Endomorphismus/Aufgabe/Lösung

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Wir wählen eine Basis von mit

für alle , was nach dem Basisergänzungssatz möglich ist. Wir betrachten die bijektive lineare Abbildung , die durch

festgelegt ist. Offensichtlich ist dazu die vorgegebene Fahne -invariant. Es sei nun eine beliebige -invariante Fahne

gegeben. Es ist zu zeigen, dass diese mit der vorgegebenen Fahne übereinstimmt. Dies beweisen wir durch Induktion über , wobei der Induktionsanfang wegen klar ist. Sei also als Induktionsvoraussetzung die Übereinstimmungen , schon bekannt. Es ist zu zeigen. Der Raum besitzt die Basis mit

und wegen der Invarianz von unter ist einerseits

(mit wegen der Bijektivität) und andererseits

Koeffizientenvergleich für die Vektoren liefert

Indem man sukzessive diese Gleichungen von unten nach oben betrachtet, erhält man bei direkt

und bei erhält man

Damit ist jedenfalls und somit

.
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