Vektorraum/Isomorph gdw gleiche Dimension/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Wir nehmen zunächst an, dass und isomorph sind, dass also eine bijektive lineare Abbildung
existiert.

Sei eine Basis von . Aufgrund der Surjektivität von existieren Elemente in mit .

Sei eine Darstellung der 0. Dann ist

weil linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass linear unabhängig sind und wegen Fakt  (4) ist die Dimension von damit mindestens so hoch wie die von . Mithilfe der Umkehrabbildung zu können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von mindestens so hoch ist, wie die von . Also sind die Vektorräume gleichdimensional.

Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen von und von gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen bzw. gemäß Fakt lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind und isomorph.
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