Vektorraum/Isomorph gdw gleiche Dimension/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen zunächst an, dass

V

und

W

isomorph sind, dass also eine bijektive lineare Abbildung

φ : V ⟶ W

existiert.

Es sei $w_{1}, \dots, w_{n}$ eine Basis von $W$ . Aufgrund der Surjektivität von $φ$ existieren Elemente $v_{1}, \dots, v_{n}$ in $V$ mit $φ (v_{i}) = w_{i}$ .

Es sei $a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n} = 0$ eine Darstellung der 0. Dann ist

\begin{matrix} 0 & = φ (0) \\ = φ (a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}) \\ = a_{1} φ (v_{1}) + \dots + a_{n} φ (v_{n}) \\ = a_{1} w_{1} + \dots + a_{n} w_{n}; \end{matrix}

weil $w_{1}, \dots, w_{n}$ linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass $v_{1}, \dots, v_{n}$ linear unabhängig sind und wegen Fakt (4) ist die Dimension von $V$ damit mindestens so hoch wie die von $W$ . Mithilfe der Umkehrabbildung zu $φ$ können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von $W$ mindestens so hoch ist, wie die von $V$ . Also sind die Vektorräume gleichdimensional.

Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen

v_{1}, \dots, v_{n}

von

V

und

w_{1}, \dots, w_{n}

von

W

gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen

φ (v_{i}) = w_{i}

bzw.

ψ (w_{i}) = v_{i}

gemäß Fakt lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind

V

und

W

isomorph.

Zur gelösten Aufgabe