Vektorraum/Körperwechsel/Erzeugendensystem/Basis/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und $K \subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei $v_{i}$ , $i \in I$ , eine Familie von Vektoren aus $V$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Die Familie $v_{i}$ , $i \in I$ , ist genau dann ein $K$ -Erzeugendensystem von $V$ , wenn $1 \otimes v_{i}$ , $i \in I$ , ein $L$ -Erzeugendensystem von $L \otimes V$ ist.

Die Familie $v_{i}$ , $i \in I$ , ist genau dann $K$ -linear unabhängig in $V$ , wenn $1 \otimes v_{i}$ , $i \in I$ , linear unabhängig (über $L$ ) in $L \otimes V$ ist.

Die Familie $v_{i}$ , $i \in I$ , ist genau dann ein $K$ -Basis von $V$ , wenn $1 \otimes v_{i}$ , $i \in I$ , ein $L$ -Basis von $L \otimes V$ ist.

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