Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Eigenwerte/Fakt/Beweis

Beweis

Sei

{}\psi :=\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\,,

dessen Kern der Eigenraum von ${}\varphi$ zum Eigenwert ${}\lambda$ ist. Der adjungierte Endomorphismus zu ${}\psi$ ist unter Verwendung von Fakt

{}{\hat {\psi }}={\hat {\varphi }}-{\left(\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}^{\hat {}}={\hat {\varphi }}-{\overline {\lambda }}{\left(\operatorname {Id} _{V}\right)}^{\hat {}}={\hat {\varphi }}-{\overline {\lambda }}\operatorname {Id} _{V}\,.

Nach Aufgabe ist auch ${}\psi$ normal und nach Fakt ist somit

{}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}=\operatorname {kern} {\left({\hat {\varphi }}-{\overline {\lambda }}\operatorname {Id} _{V}\right)}=\operatorname {Eig} _{\overline {\lambda }}{\left({\hat {\varphi }}\right)}\,.