Vektorraum/K/Halbnorm/Restklassenraum/Halbmetrik/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einer Halbnorm ${}\Vert {-}\Vert$, zugehöriger Halbmetrik ${}d$ und sei

${}Z={\left\{v\in V\mid \Vert {v}\Vert =0\right\}}\,.$

Zeige, dass der Restklassenraum ${}V/Z$ in kanonischer Weise mit der Quotientenmenge ${}V/\sim$ übereinstimmt, wobei ${}\sim$ die zu ${}d$ gehörige Äquivalenzrelation ist, und dass die induzierte Metrik auf ${}V/\sim$ von der induzierten Norm

herrührt.

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