Vektorraum/K/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {K}$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu Untervektorräumen ${}U\subseteq U'\subseteq V$ ist

   ${}U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$

2. Es ist ${}0^{\perp }=V$ und ${}V^{\perp }=0$.
3. Sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}{\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }=U\,.$

4. Sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}\operatorname {dim} _{}\left(U^{\perp }\right)=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)-\operatorname {dim} _{}\left(U\right)\,.$

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