Vektorraum/K/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu Untervektorräumen  ${}U\subseteq U'\subseteq V$  ist

   ${}U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$

2. Es ist  ${}0^{\perp }=V$  und  ${}V^{\perp }=0$. 
3. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}\left(U^{\perp }\right)^{\perp }=U\,.$

4. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}\dim _{K}\left(U^{\perp }\right)=\dim _{K}\left(V\right)-\dim _{K}\left(U\right)\,.$

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