Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Basis/Komponenten/Aufgabe

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine stetige Differentialform auf ${}U$ mit Werten in ${}W$. Es sei ${}z_{1},\ldots ,z_{m}$ eine Basis von ${}W$ und es sei

${}\omega =\sum _{j=1}^{m}\omega _{j}z_{j}\,$

die Darstellung von ${}\omega$ mit ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Differentialformen ${}\omega _{j}$ auf ${}U$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige, dass

${}\int _{\gamma }\omega =\sum _{j=1}^{m}z_{j}\int _{\gamma }\omega _{j}\,$

gilt.

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