Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Basiseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und seien ${}\omega ,\tau$ stetige Differentialformen auf ${}U$ mit Werten in ${}W$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für ${}r,s\in {\mathbb {K} }$ ist

   ${}\int _{\gamma }r\omega +s\tau =r\int _{\gamma }\omega +s\int _{\gamma }\tau \,.$

2. Es ist

   ${}\int _{-\gamma }\omega =-\int _{\gamma }\omega \,,$

   wobei ${}-\gamma$ den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.

3. Wenn

   $\delta \colon [b,c]\longrightarrow U$

   ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit ${}\delta (b)=\gamma (b)$ ist, so ist

   ${}\int _{\gamma *\delta }\omega =\int _{\gamma }\omega +\int _{\delta }\omega \,,$

   wobei ${}\gamma *\delta$ den aneinander gelegten Weg bezeichnet.

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