Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Vollständig/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2). Die Vollständigkeit des Orthonormalsystems bedeutet, dass es zu jedem Vektor ${}v\in V$ und jedem ${}\epsilon >0$ ein Koeffiziententupel ${}a_{i}$ mit einer endlichen Trägermenge ${}E\subseteq I$ mit

${}\Vert {v-\sum _{i\in E}a_{i}v_{i}}\Vert \leq \epsilon \,$

gibt. Nach Fakt erfüllt erst recht ${}\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}$ diese Eigenschaft. Dies heißt aber, dass die Summe ${}\sum _{i\in I}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}$ gleich ${}v$ ist. Von (2) nach (1) ergibt sich aus Fakt.

Zum Nachweis der Äquivalenz von (2) und (3) ziehen wir für eine endliche Teilmenge ${}E\subseteq I$ die Gleichung

${}\Vert {v-\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}}\Vert ^{2}=\Vert {v}\Vert ^{2}-\sum _{i\in E}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\,$

heran. (2) bedeutet, dass die linke Seite beliebig klein wird, (3) bedeutet, dass die rechte Seite beliebig klein wird, daher sind die Eigenschaften äquivalent.

Zur bewiesenen Aussage