Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Vollständig/Fakt

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Orthonormalsystem. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Familie ist vollständig.
2. Für jedes ${}v\in V$ gilt

   ${}v=\sum _{i\in I}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\,.$

3. Für jedes ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {v}\Vert ^{2}=\sum _{i\in I}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen