Vektorraum/Tensorprodukt/Basen/Übergangsmatrix/Fakt/Beweis

Beweis

Nach der Definition der Basiswechselmatrix ist

${}v_{is}=\sum _{r\in J_{i}}a_{irs}w_{ir}\,.$

Somit ist unter Verwendung von Fakt  (3)

${}{\begin{aligned}v_{1k_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nk_{n}}&={\left(\sum _{j_{1}\in J_{1}}a_{1j_{1}k_{1}}w_{1j_{1}}\right)}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\left(\sum _{j_{n}\in J_{n}}a_{nj_{n}k_{n}}w_{nj_{n}}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J}a_{1j_{1}k_{1}}\cdots a_{nj_{n}k_{n}}w_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}w_{nj_{n}},\end{aligned}}$

und diese Koeffizienten bilden die Basiswechselmatrix.

Zur bewiesenen Aussage