Vektorraum/Tensorprodukt/Rechengesetze/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Dann gelten die folgenden Rechengesetze.

1. Für Vektoren ${}v_{j}\in V_{j}$ und ${}c\in K$ ist

   $v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{i}\otimes cv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}=c{\left(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{i}\otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\right)}\,.$

2. Für Vektoren ${}v_{j}\in V_{j}$ ist

   ${}v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{i}\otimes 0\otimes v_{i+1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}=0\,$

3. Es seien ${}v_{1j},\ldots ,v_{m_{j}j}\in V_{j}$ und ${}a_{ij}\in K$. Dann ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i1}v_{i1}\right)}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\left(\sum _{i=1}^{m_{n}}a_{in}v_{in}\right)}&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{i_{1}}\cdots a_{i_{n}}v_{i_{1}1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{i_{n}n}\\\,\end{aligned}}$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen