Vektorraum/Tensorprodukt/Rechengesetze/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1}, \dots, V_{n}$ Vektorräume über $K$ . Dann gelten die folgenden Rechengesetze.

Für Vektoren $v_{j} \in V_{j}$ und $c \in K$ ist
$v_{1} \otimes_{} \dots \otimes_{} v_{i - 1} \otimes c v_{i} \otimes v_{i + 1} \otimes_{} \dots \otimes_{} v_{n} = c (v_{1} \otimes_{} \dots \otimes_{} v_{i - 1} \otimes v_{i} \otimes v_{i + 1} \otimes_{} \dots \otimes_{} v_{n}) .$

Für Vektoren $v_{j} \in V_{j}$ ist
$v_{1} \otimes_{} \dots \otimes_{} v_{i - 1} \otimes 0 \otimes v_{i + 1} \otimes_{} \dots \otimes_{} v_{n} = 0 .$

Es seien $v_{i 1}, \dots, v_{i m_{i}} \in V_{i}$ und $a_{i j} \in K$ . Dann ist
$\begin{matrix} (\sum_{j = 1}^{m_{1}} a_{1 j} v_{1 j}) \otimes_{} \dots \otimes_{} (\sum_{j = 1}^{m_{n}} a_{n j} v_{n j}) & = \sum_{(j_{1}, \dots, j_{n}) \in {1, \dots, m_{1}} \times \dots \times {1, \dots, m_{n}}} a_{1 j_{1}} \dots a_{n j_{n}} v_{1 j_{1}} \otimes_{} \dots \otimes_{} v_{n j_{n}} . \end{matrix}$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen