Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonal/Längensymmetrie/Bemerkung

Dass die über das Skalarprodukt definierte Orthogonalität der anschaulichen Orthogonalität entspricht, kann man sich folgendermaßen klar machen. Zu orthogonalen Vektoren ${}u,v\in V$ gilt, dass ${}v$ zu den beiden Punkten ${}u$ und ${}-u$ den gleichen Abstand besitzt. Es ist ja

${}{\begin{aligned}\Vert {v-u}\Vert ^{2}&=\left\langle v-u,v-u\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle u,u\right\rangle \\&=\left\langle v+u,v+u\right\rangle \\&=\Vert {v+u}\Vert ^{2}.\end{aligned}}$

Die Umkehrung gilt ebenfalls, siehe Aufgabe.