Vollkugel/Mannigfaltigkeit mit Rand/Beispiel

Die abgeschlossene Kugel

$B(0,r)=\{x\in {ℝ}^n\mid \sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}\le r\}$

ist eine $C^{\mathrm{\infty }}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit mit der Sphäre

$S(0,r)=\{x\in {ℝ}^n\mid \sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}=r\}$

als Rand. Dies folgt unmittelbar aus Fakt angewendet auf die differenzierbare Funktion

$f:{ℝ}^n⟶ℝ,(x_1,\dots ,x_n)⟼\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2},$

die in jedem Punkt $\ne 0$ regulär ist.