Wahrscheinlichkeitsraum

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Einleitung[Bearbeiten]

ANNE Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel , wobei

  • die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes ( Würfelwurf)
  • als Mengensystem von Teilmenge von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. ) und
  • die Funktion ist, die jeder messbaren Menge eine Wahrscheinlichkeit zuordnet (z.B. mit ).

Sigma-Algebra[Bearbeiten]

Sei . Ein Teilmenge der Potenzmenge heißt -Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten:

  • für alle , dann gilt

Messraum[Bearbeiten]

Sei und eine -Algebra über , dann heißt einen Messraum.

Aufgabe 1[Bearbeiten]

Sei und . Ziel der Aufgabe ist es, so zu zu erweitern, dass ein Messraum ist.

  • Sei und . Ergänzen Sie Menge minimal so zu , dass eine Algebra ist.

Aufgabe 2[Bearbeiten]

Die Borelsche Algebra von den abgeschlossenen Intervallen erzeugt:

  • Begründen Sie mit dem Erzeuger der und den Eigenschaften einer -Algebra, dass auch alle Einpunktmengen enthält.

Definition: Messbare Abbildung[Bearbeiten]

Seien und Messräume. Eine Abbildung heißt -messbar, wenn gilt:

Bemerkung: Induzierte W-Verteilung[Bearbeiten]

Über eine messbare Abbildung kann man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von dem Messraum auf induzieren. Es gilt

für alle .

Beispiel[Bearbeiten]

Seien und als Messräume wie folgt definiert:

  • zweimaliges Würfeln mit (Potenzmenge von ).
  • mit (Borelsche -Algebra).
  • für alle

Bestimmen Sie mit die Menge die Menge !

Wahrscheinlichkeitsraum[Bearbeiten]

Sei eine Messraum und eine Abbildung gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt:

  • (Nichtnegativität) für alle
  • (Normiertheit)
  • (-Additivität) für alle und paarweise disjunkt folgt: .

nennt man dann Wahrscheinlichkeitsmaß bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung auf und bzeichnet man als Wahrscheinlichkeitsraum.

Zufallsgröße[Bearbeiten]

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und die Borelsche -Algebra, dann nennt man die -messbare Abbildung eine (eindimensionale) Zufallsgröße.

Bemerkung: Die Messbarkeit von sorgt dafür, dass auf der Menge definiert ist.

Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung[Bearbeiten]

Sei ein Zufallsexperiment und eine Zufallsgröße auf dem Messraum . Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann mit als Borelsche -Algebra wie folgt definiert:

mit

nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiteninformation[Bearbeiten]

Der Foliensatz wurde für den Kurs:Stochastik mit Wiki2Reveal über den Linkgenerator erstellt.