Einführung

Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel $(Ω, 𝒮, P)$ , wobei

$Ω$ die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes ( $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ Würfelwurf)
$𝒮$ als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. $𝒮 \subseteq ℘ (Ω)$ ) und
$P : 𝒮 \to [0, 1]$ die Funktion ist, die jeder messbaren Menge $A \in 𝒮$ eine Wahrscheinlichkeit $P (A)$ zuordnet (z.B. $P (A) = \frac{1}{2}$ mit $A := {1, 3, 5}$ ).

Ergebnis - Ereignis

(Ergebnis) Elemente $ω \in Ω$ nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis $ω = 3$ bei einem einmaligen Würfelwurf mit $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , dass die Zahl 3 gewürfelt wurde.
(Ereignis) Elemente $A \in 𝒮$ aus einer $σ$ -Algebra sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als "Ereignis" bezeichnet. Das Ereignis "gerade Zahl gewürfelt" kann man als Menge $A = {2, 4, 6}$ formal beschreiben. Alle $A \in 𝒮$ aus der $σ$ -Algebra nennt man messbare Mengen, denen man später mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß eine Wahrscheinlichkeit $P (A)$ zuordnen kann.

Bemerkung - Maßproblem

Es kann gezeigt werden, dass man auf $ℝ$ bzw. allgemeiner $ℝ^{n}$ nicht allen Teilmengen $A \subseteq ℝ^{n}$ mit einem positiven, $σ$ -additiven, normierten und translationsinvarianten Maß $μ$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen $A \subseteq ℝ^{n}$ das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der $σ$ -Algebra ein.

Definition - Sigma-Algebra

Sei $Ω ≠ \emptyset$ . Ein Teilmenge $𝒮$ der Potenzmenge $℘ (Ω)$ heißt $σ$ -Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten:

$Ω \in 𝒮$
$A \in 𝒮 ⟹ A^{c} = Ω ∖ A \in 𝒮$
$A_{n} \in 𝒮$ für alle $n \in ℕ$ , dann gilt $⋃_{n \in ℕ} A_{n} \in 𝒮$

Anmerkung

Die Struktur der $σ$ -Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen Wohldefiniertheit.

Definition - Messraum

Sei $Ω ≠ \emptyset$ und $𝒮$ eine $σ$ -Algebra über $Ω$ , dann heißt $(Ω, 𝒮)$ ein Messraum. Die Elemente $A \in 𝒮$ heißen messbare Mengen.

Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum

In der Wahrscheinlichkeitstheorie nennt man $Ω$ Ergebnisraum und Ereignisraum. Beim eine Würfelexperiment ist 4 eine Ergebnis und $A = {2, 4, 6} \in 𝒮$ das Ereignis, dass eine gerade Zahl gewürfelt wurde.

Aufgaben

Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele:

Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine $σ$ -Algebra besitzt.
Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der Borelschen-Sigma-Algebra und Einpunktmengen.

Aufgabe 1

Sei $Ω ≠ \emptyset$ und $𝒮^{'} \subseteq ℘ (Ω)$ . Ziel der Aufgabe ist es, $𝒮^{'} \subseteq ℘ (Ω)$ so zu $𝒮 \subseteq ℘ (Ω)$ zu erweitern, dass $(Ω, 𝒮)$ ein Messraum ist.

Sei $Ω := {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ und $𝒮^{'} := {Ω, {1, 2}, {5, 6}}$ . Ergänzen Sie Menge $𝒮^{'}$ minimal so zu $𝒮$ , dass $𝒮$ eine $σ -$ Algebra ist.

Aufgabe 2

Die Borelsche $σ -$ Algebra von den abgeschlossenen Intervallen $ℰ := {[a, b] | a, b \in ℝ \land a < b}$ erzeugt:

Begründen Sie mit dem Erzeuger der $ℰ$ und den Eigenschaften einer $σ$ -Algebra, dass ${x} \in ℬ$ auch alle Einpunktmengen ${x} \in ℬ$ enthält.

Definition - Messbare Abbildung

Seien $(Ω_{1}, 𝒮_{1})$ und $(Ω_{2}, 𝒮_{2})$ Messräume. Eine Abbildung $X : Ω_{1} ⟶ Ω_{2}$ heißt $(𝒮_{1}, 𝒮_{2})$ -messbar, wenn gilt:

\forall_{B \in 𝒮_{2}} : X^{- 1} (B) \in 𝒮_{1}

Bemerkung - Zufallsgröße

Wenn zusätzlich auf $(Ω_{1}, 𝒮_{1})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum $(P_{1}, Ω_{1}, 𝒮_{1})$ ist, dann nennt man $X$ Zufallsgröße. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_{2}$ auf dem Messraum $(Ω_{2}, 𝒮_{2})$ über $P_{2} (B) := P_{1} (X^{- 1} (B))$ induziert.

Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sei $X : Ω_{1} ⟶ Ω_{2}$ eine messbare Abbildung, dann nennt man die durch $X$ erzeugte Abbildung $P^{X} : 𝒮_{2} \to ℝ$ die von dem Messraum $(Ω_{1}, 𝒮_{1})$ auf den Messraum $(Ω_{2}, 𝒮_{2})$ induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit:

P^{X} (B) := P (X^{- 1} (B))

für alle $B \in 𝒮_{2}$ .

Lemma - Induzierte Verteilung

Sei $(Ω_{1}, 𝒮_{1}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $X : Ω_{1} ⟶ Ω_{2}$ eine messbare Abbildung und $P^{X} : 𝒮_{2} \to ℝ$ die von dem Messraum $(Ω_{1}, 𝒮_{1})$ auf den Messraum $(Ω_{2}, 𝒮_{2})$ induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung $P^{X} : 𝒮_{2} \to ℝ$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Messraum $(Ω_{2}, 𝒮_{2})$ .

Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung

Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines Wahrscheinlichkeitsmaßes nachweisen.

Beispiel

Seien $(Ω_{1}, 𝒮_{1})$ und $(Ω_{2}, 𝒮_{2})$ als Messräume wie folgt definiert:

$Ω_{1} := {1, 2, 3, 4, 5, 6}^{2}$ zweimaliges Würfeln mit $𝒮_{1} := ℘ (Ω_{1})$ (Potenzmenge von $Ω_{1}$ ).
$Ω_{2} := ℝ$ mit $𝒮_{2} := ℬ$ (Borelsche $σ$ -Algebra).
$X (w_{1}, w_{2}) := w_{1} + w_{2}$ für alle $(w_{1}, w_{2}) \in Ω_{1} := {1, 2, 3, 4, 5, 6}^{2}$

Bestimmen Sie mit $X : Ω_{1} ⟶ Ω_{2}$ die Menge $B := {1, 4} \subset Ω_{2}$ die Menge $X^{- 1} (B) = X^{- 1} ({1, 4}) \subseteq Ω_{1}$ !

Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sei $(Ω, 𝒮)$ ein Messraum und eine Abbildung $P : 𝒮 ⟶ ℝ$ gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt:

(Nichtnegativität) $P (A) \geq 0$ für alle $A \in 𝒮$
(Normiertheit) $P (Ω) = 1$
( $σ$ -Additivität) $A_{n} \in 𝒮$ für alle $n \in ℕ$ und paarweise disjunkt folgt: $P (⋃_{n \in ℕ} A_{n}) = \sum_{n \in ℕ} P (A_{n})$ .

$P$ nennt man dann Wahrscheinlichkeitsmaß bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(Ω, 𝒮)$ .

Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum

Sei $(Ω, 𝒮)$ ein Messraum und $P : 𝒮 ⟶ ℝ$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben, dann nennt man $(Ω, 𝒮, P)$ Wahrscheinlichkeitsraum.

Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes

$0 \leq P (A) \leq 1$
$P (\emptyset) = 0$
$P (Ω ∖ A) = 1 - P (A)$
$P (A ∖ B) = P (A) - P (B)$ falls $B \subseteq A$
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
Gilt $A \subseteq B$ , so folgt $P (A) \leq P (B)$ .

Aufgabe 1

Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes.

Aufgabe 2

Vergleichen Sie die Eigenschaften der $σ$ -Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer $σ$ -Algebra, die notwendig sind, damit man das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ überhaupt auf der $σ$ -Algebra definieren kann.

Reellwertige Zufallsgröße

Sei $(Ω_{1}, 𝒮_{1}, P_{1})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(Ω_{2}, 𝒮_{2}) = (ℝ, ℬ)$ die Borelsche $σ$ -Algebra, dann nennt man die $(𝒮_{1}, ℬ)$ -messbare Abbildung $X : Ω_{1} \to ℝ$ eine (eindimensionale) Zufallsgröße.

Bemerkung: Die Messbarkeit von $X$ sorgt dafür, dass $P$ auch auf den Mengen $X^{- 1} (B) \in 𝒮_{1}$ definiert ist. Damit kann man dann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(ℝ, ℬ)$ erzeugen.

Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sei $(Ω, 𝒮, P)$ ein Zufallsexperiment und $X : Ω \to ℝ$ eine Zufallsgröße auf dem Messraum $(Ω, 𝒮)$ . Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_{X}$ ist dann mit $ℬ$ als Borelsche $σ$ -Algebra wie folgt definiert: