Glockenkurve

Einleitung[Bearbeiten]

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Abbildung Glocke[Bearbeiten]

Teilaspekte[Bearbeiten]

In dieser Lerneinheit werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

(1) geometrische Eigenschaften der Glocke
(2) mathematische Definition der Glockenkurveneigenschaften
(3) unterschiedliche Funktionen, die die Glockenkurveneigenschaften besitzen (siehe Normalverteilung und die Geschichte von Glockenkurven^[1]

Glockenkurve - eindimensional Definitionsbereich[Bearbeiten]

Beispiele für Glockenkurven mit eindimensionalem Definitionsbereich sind:

Dichtefunktion der Normalverteilung
Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung

Dichtefunktion der Normalverteilung[Bearbeiten]

Eine der bekanntesten Glockenkurven mit eindimensionalen Definitionsbereich ist Dichtefunktion der Normalverteilung (bell curve).

Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung[Bearbeiten]

Auch die Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung ist eine Glockenkurve mit eindimensionalem Funktionsbereich. Begründen Sie, warum $h:={\frac {1}{\pi \cdot s}}$ für die Cauchy-Verteilung gewählt werden muss (Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung).

Aufgabe für Studierende[Bearbeiten]

Plotten Sie den Funktionsterm mit der OpenSource-Software Geogebra

f(x):={\frac {h}{1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}

Dabei sollen die Variablen $h,\mu ,\sigma$ mit $\sigma >0$ Schieberegler sein.

Definition - Glockenfunktion[Bearbeiten]

Sei $(V,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ein topologischer Vektorraum über dem Körper $\mathbb {R}$ und $\alpha \in {\mathcal {A}}$ . Eine stetige Abbildung $f\colon V\to \mathbb {R}$ heißt $\alpha$ -Glockenfunktion auf $V$ , wenn es ein $z_{o}\in V$ gibt mit:

(G1-Peak) $f(v)\leq f(z_{o})$ für alle $v\in V$ ,
(G2-Symmetrie) $f(z_{o}+v)=f(z_{o}-v)$ und
(G3-Unbeschränkte Folgen) für Folgen $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V^{\mathbb {N} }$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}:\,\lim _{n\to \infty }\|v_{n}\|_{\alpha }=+\infty$ folgt $\lim _{n\to \infty }f(v_{n})=0$

Aufgabe für Studierende - Eigenschaften[Bearbeiten]

Als Grundraum ist der normierte Vektorraum der reellen Zahlen mit dem Betrag $|\cdot |$ als Gaugefunktional (Norm) gegeben. Zeigen Sie, dass die folgende Funktion die Eigenschaften (G1),(G2) und (G3) erfüllt.

f(x):={\frac {h}{1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}

Bemerkung - Länge von Vektoren[Bearbeiten]

Gaugefunktionale sind Messinstrumenten auf topologischen Vektorräumen, die den Vektoren $v\in V$ eine Art Länge $\|v\|_{\alpha }$ zuordnen. Gaugefunktionale sind absolut homogene Funktionale, die allerdings die Dreiecksungleichung nicht notwendigerweise erfüllen. Die Bedingung (G3) beschreibt, wie sich die Funktionswert für $\alpha$ -unbeschränkte Folgen in $V$ verhalten.

Beschränkte Mengen[Bearbeiten]

Für eine $\alpha$ -beschränkte Menge $M$ in einem topologischen Vektoraum gilt nach Definition:

\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{C_{\alpha }>0}\forall _{v\in M}:\,\|v\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }

Unbeschränkte Mengen[Bearbeiten]

Durch Negation der obigen Definition erhält man die Definition von einer $\alpha$ -unbeschränkten Mengen $M$ mit:

\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\forall _{C_{\alpha }>0}\exists _{v\in M}:\,\|v\|_{\alpha }>C_{\alpha }

Unbeschränkte Mengen[Bearbeiten]

Ohne Einschränkung kann man die Aussage für $C_{\alpha }:=n\in \mathbb {N}$ formulieren:

\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\forall _{n\in \mathbb {N} }\exists _{v_{n}\in M}:\,\|v_{n}\|_{\alpha }>n

bzw.

\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in M^{\mathbb {N} }}:\,\lim _{n\to \infty }\|v_{n}\|_{\alpha }=+\infty

Bemerkungen zur Definition[Bearbeiten]

(Zentrum) Eine Glockenfunktion besitzt ein Zentrum $z_{o}\in V$ in Definitionsbereich der Glockenfunktion
(G1-Peak) beschreibt mit $f(v)\leq f(z_{o})$ für alle $v\in V$ , dass die Glockenfunktion in $z_{o}\in V$ ein absolutes Maximum annimmt.
(G2-Symmetrie) Die Bedingung $f(z_{o}+v)=f(z_{o}-v)$ beschreibt, dass die Glockenfunktion $f$ bezogen auf das Zentrum $z_{o}\in V$ punktsymmetrische Funktionswerte besitzt.
(G3-Unbeschränkte Folgen) beschreibt, dass der Funktionswert verschwindet (gegen 0 konvergiert), wenn alle mit den Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ gemessenen Längen einer Folge bzw. Netzes gegen $\infty$ konvergiert.

Beispiele[Bearbeiten]

Die folgenden Beispiele behandeln Glockenfunktionen auf unterschiedlichen Typen von Vektorräumen.

eindimensional,
n-dimensional und
$\infty$ -dimensional

Eindimensionale Vektorräume[Bearbeiten]

Die Normalverteilung hat als Dichtefunktion eine eindimensionale Glockenfunktion (genannt Gaußsche Glockenkurve). Diese besitzt die obige Eigenschaften (G1), (G2) und (G3) auf dem eindimensionalen topologischen Vektorraum $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ besitzt.

Bemerkung zur Abbildung[Bearbeiten]

In der obigen Abbildung ist das Zentrum der Glockenfunktion $z:=\mu$ der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Je geringer die Varianz $\sigma ^{2}>0$ ist, desto größer ist das Maximum $f(z)$ der Dichtefunktion $f$ über $z=\mu$ . $f(z)$ kann im Gegensatz zum Wahrscheinlichkeitsmaß Werte größer als 1 annehmen.

Zweidimensionaler Vektorraum[Bearbeiten]

Sei $(\mathbb {R} ^{2},\|\cdot \|)$ der zweidimensionale $\mathbb {R}$ mit der euklischen Norm $\|\cdot \|:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ . Mit $x=(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ , $\mu =(\mu _{1},\mu _{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ , $h\in mathbb{R}$ und $s>0$ ist die folgende Funktion eine Glockenkurve:

f(x):={\frac {h}{1+\left({\frac {\|x-\mu \|^{2}}{\sigma }}\right)^{2}}}

Unendlichdimensionaler Vektorraum[Bearbeiten]

Konstruieren Sie eine Glockenkurve auf dem Vektorraum der stetigen Funktionen mit einem Halbnormensystem Ihrer Wahl.

Aufgaben für Studierende[Bearbeiten]

Weisen Sie nach, dass die Normalverteilung die Eigenschaften einer Glockenkurve (Glockenfunktion) auf $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ besitzt.

Literatur/Quellennachweise[Bearbeiten]

↑ Fendler, L., & Muzaffar, I. (2008). The history of the bell curve: Sorting and the idea of normal. Educational Theory, 58(1), 63-82.

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiteninformation[Bearbeiten]

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Wiki2Reveal[Bearbeiten]

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Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Glockenkurve
siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.

[1] Fendler, L., & Muzaffar, I. (2008). The history of the bell curve: Sorting and the idea of normal. Educational Theory, 58(1), 63-82.

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