Glockenkurve

Einleitung

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Abbildung Glocke

Teilaspekte

In dieser Lerneinheit werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

• (1) geometrische Eigenschaften der Glocke
• (2) mathematische Definition der Glockenkurveneigenschaften
• (3) unterschiedliche Funktionen, die die Glockenkurveneigenschaften besitzen (siehe Normalverteilung und die Geschichte von Glockenkurven

Glockenkurve - eindimensional Definitionsbereich

Beispiele für Glockenkurven mit eindimensionalem Definitionsbereich sind:

• Dichtefunktion der Normalverteilung
• Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung

Dichtefunktion der Normalverteilung

Eine der bekanntesten Glockenkurven mit eindimensionalen Definitionsbereich ist Dichtefunktion der Normalverteilung (bell curve).

Dichtefunktion der Normalverteilung

Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung

Auch die Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung ist eine Glockenkurve mit eindimensionalem Funktionsbereich. Begründen Sie, warum $h:=\frac{1}{\pi \cdot s}$ für die Cauchy-Verteilung gewählt werden muss (Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung).

Aufgabe für Studierende

Plotten Sie den Funktionsterm mit der OpenSource-Software Geogebra

$f(x):=\frac{h}{1+{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$

Dabei sollen die Variablen $h,\mu ,\sigma$ mit $\sigma >0$ Schieberegler sein.

Definition - Glockenfunktion

Sei $(V,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ ein topologischer Vektorraum über dem Körper $ℝ$ und $\alpha \in 𝒜$. Eine stetige Abbildung $f:V\to ℝ$ heißt $\alpha$-Glockenfunktion auf $V$, wenn es ein $z_o\in V$ gibt mit:

• (G1-Peak) $f(v)\le f(z_o)$ für alle $v\in V$,
• (G2-Symmetrie) $f(z_o+v)=f(z_o-v)$ und
• (G3-Unbeschränkte Folgen) für Folgen $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in V^{\mathbb{N}}$ mit

$\underset{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\forall }}\underset{(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in V^{\mathbb{N}}}{\mathrm{\forall }}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert v_n{\Vert }_{\alpha }=+\mathrm{\infty }⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(v_n)=0$

Aufgabe für Studierende - Eigenschaften

Als Grundraum ist der normierte Vektorraum $(ℝ,|\cdot |)$ der reellen Zahlen mit dem Betrag $|\cdot |$ als Gaugefunktional (Norm) gegeben. Zeigen Sie, dass die folgende Funktion die Eigenschaften (G1),(G2) und (G3) erfüllt.

$f(x):=\frac{h}{1+{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$

Definition - Dichtefunktion - Cauchy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die über die Wahrscheinlichkeitsdichte mit $\gamma >0$ und $x_o\in ℝ$

$f_{x_o,\gamma }(x)=\frac{1}{\pi \cdot \gamma }\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{x-x_o}{\gamma }\right)}^2}\text{für}-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$

Vorfaktor der Cauchy-Verteilung

Der Vorfaktor $\frac{1}{\pi \cdot \gamma }$ legt das Maximum der Glockenkurve an der Stelle $x_o\in ℝ$ fest und dient gleichzeitig der Normierung des Integrals.

$1={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_{x_o,\gamma }(x)dx$

Graph der Dichtefunktion

Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung

Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung für verschiedene Werte der beiden Parameter $x_o$ und $\gamma$. Dabei wirkt $\gamma >0$ wie ein Streuparameter für die Verteilung und $x_o$ aus Definition der Dichtefunktion die Stelle auf der $x$-Achse fest, an dem das Maximum der Cauchy-Dichte angenommen wird.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung ist

$F(x)=P(X\le x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\cdot \arctan \left(\frac{x-t}{s}\right)$.

und damit stetig auf $ℝ$.

Bemerkung - Länge von Vektoren

Gaugefunktionale sind Messinstrumenten auf topologischen Vektorräumen, die den Vektoren $v\in V$ eine Art Länge $\Vert v{\Vert }_{\alpha }$ zuordnen. Gaugefunktionale sind absolut homogene Funktionale, die allerdings die Dreiecksungleichung nicht notwendigerweise erfüllen. Die Bedingung (G3) beschreibt, wie sich die Funktionswert für $\alpha$-unbeschränkte Folgen in $V$ verhalten.

Beschränkte Mengen

Für eine $\alpha$-beschränkte Menge $M$ in einem topologischen Vektoraum gilt nach Definition:

${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{C_{\alpha }>0}{\mathrm{\forall }}_{v\in M}:\Vert v{\Vert }_{\alpha }\le C_{\alpha }$

Unbeschränkte Mengen

Durch Negation der obigen Definition erhält man die Definition von einer $\alpha$-unbeschränkten Mengen $M$ mit:

${\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\forall }}_{C_{\alpha }>0}{\mathrm{\exists }}_{v\in M}:\Vert v{\Vert }_{\alpha }>C_{\alpha }$

Unbeschränkte Mengen

Ohne Einschränkung kann man die Aussage für $C_{\alpha }:=n\in \mathbb{N}$ formulieren:

${\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\forall }}_{n\in \mathbb{N}}{\mathrm{\exists }}_{v_n\in M}:\Vert v_n{\Vert }_{\alpha }>n$

bzw.

${\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in M^{\mathbb{N}}}:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert v_n{\Vert }_{\alpha }=+\mathrm{\infty }$

Bemerkungen zur Definition

• (Zentrum) Eine Glockenfunktion besitzt ein Zentrum $z_o\in V$ in Definitionsbereich der Glockenfunktion
• (G1-Peak) beschreibt mit $f(v)\le f(z_o)$ für alle $v\in V$, dass die Glockenfunktion in $z_o\in V$ ein absolutes Maximum annimmt.
• (G2-Symmetrie) Die Bedingung $f(z_o+v)=f(z_o-v)$ beschreibt, dass die Glockenfunktion $f$ bezogen auf das Zentrum $z_o\in V$ punktsymmetrische Funktionswerte besitzt.
• (G3-Unbeschränkte Folgen) beschreibt, dass der Funktionswert verschwindet (gegen 0 konvergiert), wenn alle mit den Gaugefunktional $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$ gemessenen Längen $\Vert v_n{\Vert }_{\alpha }$ der Folgeglieder von $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in V^{\mathbb{N}}$ gegen $\mathrm{\infty }$ konvergiert (siehe auch Konvergenz gegen Unendlich in topologischen Vektorräume).

Beispiele

Die folgenden Beispiele behandeln Glockenfunktionen auf unterschiedlichen Typen von Vektorräumen.

• eindimensional,
• n-dimensional und
• $\mathrm{\infty }$-dimensional

Eindimensionale Vektorräume

Die Normalverteilung hat als Dichtefunktion eine eindimensionale Glockenfunktion (genannt Gaußsche Glockenkurve). Diese besitzt die obige Eigenschaften (G1), (G2) und (G3) auf dem eindimensionalen topologischen Vektorraum $(ℝ,|\cdot |)$ besitzt.

Normalverteilung - Dichtefunktionen

Bemerkung zur Abbildung

• In der obigen Abbildung ist das Zentrum der Glockenfunktion $z:=\mu$ der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
• Je geringer die Varianz ${\sigma }^2>0$ ist, desto größer ist das Maximum $f(z)$ der Dichtefunktion $f$ über $z=\mu$. $f(z)$ kann im Gegensatz zum Wahrscheinlichkeitsmaß Werte größer als 1 annehmen.

Zweidimensionaler Vektorraum

Sei $({ℝ}^2,\Vert \cdot \Vert )$ der zweidimensionale $ℝ$ mit der euklischen Norm $\Vert \cdot \Vert :{ℝ}^2\to {ℝ}_o^{+}$. Mit $x=(x_1,x_2)\in {ℝ}^2$, $\mu =({\mu }_1,{\mu }_2)\in {ℝ}^2$, $h\in ℝ$ und $s>0$ ist die folgende Funktion eine Glockenkurve:

$f(x):=\frac{h}{1+{\left(\frac{\Vert x-\mu {\Vert }^2}{\sigma }\right)}^2}$

Unendlichdimensionaler Vektorraum

Konstruieren Sie eine Glockenkurve auf dem Vektorraum der stetigen Funktionen mit einem Halbnormensystem Ihrer Wahl.

Aufgaben für Studierende

• Weisen Sie nach, dass die Normalverteilung die Eigenschaften einer Glockenkurve (Glockenfunktion) auf $(ℝ,|\cdot |)$ besitzt.

Siehe auch

• Normalverteilung
• Wiki2Reveal
• Kurs:Stochastik
• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen

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