Einführung

Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ , wobei

$\Omega$ die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes ( $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ Würfelwurf)
${\mathcal {S}}$ als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. ${\mathcal {S}}\subseteq \wp (\Omega )$ ) und
$P:{\mathcal {S}}\rightarrow [0,1]$ die Funktion ist, die jeder messbaren Menge $A\in {\mathcal {S}}$ eine Wahrscheinlichkeit $P(A)$ zuordnet (z.B. $P(A)={\frac {1}{2}}$ mit $A:=\{1,3,5\}$ ).

Ergebnis - Ereignis

(Ergebnis) Elemente $\omega \in \Omega$ nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis $\omega =3$ bei einem einmaligen Würfelwurf mit $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ , dass die Zahl 3 gewürfelt wurde.
(Ereignis) Elemente $A\in {\mathcal {S}}$ aus einer $\sigma$ -Algebra sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als "Ereignis" bezeichnet. Das Ereignis "gerade Zahl gewürfelt" kann man als Menge $A=\{2,4,6\}$ formal beschreiben. Alle $A\in {\mathcal {S}}$ aus der $\sigma$ -Algebra nennt man messbare Mengen, denen man später mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß eine Wahrscheinlichkeit $P(A)$ zuordnen kann.

Bemerkung - Maßproblem

Es kann gezeigt werden, dass man auf $\mathbb {R}$ bzw. allgemeiner $\mathbb {R} ^{n}$ nicht allen Teilmengen $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit einem positiven, $\sigma$ -additiven, normierten und translationsinvarianten Maß $\mu$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der $\sigma$ -Algebra ein.

Definition - Sigma-Algebra

Sei $\Omega \not =\emptyset$ . Ein Teilmenge ${\mathcal {S}}$ der Potenzmenge $\wp (\Omega )$ heißt $\sigma$ -Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten:

$\Omega \in {\mathcal {S}}$
$A\in {\mathcal {S}}\Longrightarrow A^{c}=\Omega \setminus A\in {\mathcal {S}}$
$A_{n}\in {\mathcal {S}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ , dann gilt $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {S}}$

Anmerkung

Die Struktur der $\sigma$ -Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen Wohldefiniertheit.

Definition - Messraum

Sei $\Omega \not =\emptyset$ und ${\mathcal {S}}$ eine $\sigma$ -Algebra über $\Omega$ , dann heißt $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ ein Messraum. Die Elemente $A\in {\mathcal {S}}$ heißen messbare Mengen.

Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum

In der Wahrscheinlichkeitstheorie nennt man $\Omega$ Ergebnisraum und Ereignisraum. Beim eine Würfelexperiment ist 4 eine Ergebnis und $A=\{2,4,6\}\in {\mathcal {S}}$ das Ereignis, dass eine gerade Zahl gewürfelt wurde.

Aufgaben

Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele:

Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine $\sigma$ -Algebra besitzt.
Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der Borelschen-Sigma-Algebra und Einpunktmengen.

Aufgabe 1

Sei $\Omega \not =\emptyset$ und ${\mathcal {S}}'\subseteq \wp (\Omega )$ . Ziel der Aufgabe ist es, ${\mathcal {S}}'\subseteq \wp (\Omega )$ so zu ${\mathcal {S}}\subseteq \wp (\Omega )$ zu erweitern, dass $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ ein Messraum ist.

Sei $\Omega :=\{1,2,3,4,5,6\}$ und ${\mathcal {S}}':=\{\Omega ,\{1,2\},\{5,6\}\}$ . Ergänzen Sie Menge ${\mathcal {S}}'$ minimal so zu ${\mathcal {S}}$ , dass ${\mathcal {S}}$ eine $\sigma -$ Algebra ist.

Aufgabe 2

Die Borelsche $\sigma -$ Algebra von den abgeschlossenen Intervallen ${\mathcal {E}}:=\{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \wedge a<b\}$ erzeugt:

Begründen Sie mit dem Erzeuger der ${\mathcal {E}}$ und den Eigenschaften einer $\sigma$ -Algebra, dass $\{x\}\in {\mathcal {B}}$ auch alle Einpunktmengen $\{x\}\in {\mathcal {B}}$ enthält.

Definition - Messbare Abbildung

Seien $(\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})$ und $(\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})$ Messräume. Eine Abbildung $X:\Omega _{1}\longrightarrow \Omega _{2}$ heißt $({\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {S}}_{2})$ -messbar, wenn gilt:

\forall _{B\in {\mathcal {S}}_{2}}\ :\ X^{-1}(B)\in {\mathcal {S}}_{1}

Bemerkung - Zufallsgröße

Wenn zusätzlich auf $(\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum $(P_{1},\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})$ ist, dann nennt man $X$ Zufallsgröße. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_{2}$ auf dem Messraum $(\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})$ über $P_{2}(B):=P_{1}(X^{-1}(B))$ induziert.

Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sei $X:\Omega _{1}\longrightarrow \Omega _{2}$ eine messbare Abbildung, dann nennt man die durch $X$ erzeugte Abbildung $P^{X}:{\mathcal {S}}_{2}\to \mathbb {R}$ die von dem Messraum $(\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})$ auf den Messraum $(\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})$ induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit:

P^{X}(B):=P(X^{-1}(B))

für alle $B\in {\mathcal {S}}_{2}$ .

Lemma - Induzierte Verteilung

Sei $(\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $X:\Omega _{1}\longrightarrow \Omega _{2}$ eine messbare Abbildung und $P^{X}:{\mathcal {S}}_{2}\to \mathbb {R}$ die von dem Messraum $(\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})$ auf den Messraum $(\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})$ induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung $P^{X}:{\mathcal {S}}_{2}\to \mathbb {R}$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Messraum $(\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})$ .

Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung

Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines Wahrscheinlichkeitsmaßes nachweisen.

Beispiel

Seien $(\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})$ und $(\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})$ als Messräume wie folgt definiert:

$\Omega _{1}:=\{1,2,3,4,5,6\}^{2}$ zweimaliges Würfeln mit ${\mathcal {S}}_{1}:=\wp (\Omega _{1})$ (Potenzmenge von $\Omega _{1}$ ).
$\Omega _{2}:=\mathbb {R}$ mit ${\mathcal {S}}_{2}:={\mathcal {B}}$ (Borelsche $\sigma$ -Algebra).
$X(w_{1},w_{2}):=w_{1}+w_{2}$ für alle $(w_{1},w_{2})\in \Omega _{1}:=\{1,2,3,4,5,6\}^{2}$

Bestimmen Sie mit $X:\Omega _{1}\longrightarrow \Omega _{2}$ die Menge $B:=\{1,\,4\}\subset \Omega _{2}$ die Menge $X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\,4\})\subseteq \Omega _{1}$ !

Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ ein Messraum und eine Abbildung $P:{\mathcal {S}}\longrightarrow \mathbb {R}$ gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt:

(Nichtnegativität) $P(A)\geq 0$ für alle $A\in {\mathcal {S}}$
(Normiertheit) $P(\Omega )=1$
( $\sigma$ -Additivität) $A_{n}\in {\mathcal {S}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und paarweise disjunkt folgt: $P\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }P\left(A_{n}\right)$ .

$P$ nennt man dann Wahrscheinlichkeitsmaß bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ .

Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ ein Messraum und $P:{\mathcal {S}}\longrightarrow \mathbb {R}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben, dann nennt man $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ Wahrscheinlichkeitsraum.

Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes

$0\leq P(A)\leq 1$
$P(\emptyset )=0$
$P(\Omega \setminus A)=1-P(A)$
$P(A\setminus B)=P(A)-P(B)$ falls $B\subseteq A$
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Gilt $A\subseteq B$ , so folgt $P(A)\leq P(B)$ .

Aufgabe 1

Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes.

Aufgabe 2

Vergleichen Sie die Eigenschaften der $\sigma$ -Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer $\sigma$ -Algebra, die notwendig sind, damit man das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ überhaupt auf der $\sigma$ -Algebra definieren kann.

Reellwertige Zufallsgröße

Sei $(\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1},P_{1})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$ die Borelsche $\sigma$ -Algebra, dann nennt man die $({\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {B}})$ -messbare Abbildung $X:\Omega _{1}\to \mathbb {R}$ eine (eindimensionale) Zufallsgröße.

Bemerkung: Die Messbarkeit von $X$ sorgt dafür, dass $P$ auch auf den Mengen $X^{-1}(B)\in {\mathcal {S}}_{1}$ definiert ist. Damit kann man dann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$ erzeugen.

Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ ein Zufallsexperiment und $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ eine Zufallsgröße auf dem Messraum $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ . Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_{X}$ ist dann mit ${\mathcal {B}}$ als Borelsche $\sigma$ -Algebra wie folgt definiert: