Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Aufgabe ist der Durchschnitt der Untergruppen $ℤ a_{i}$ wieder eine Untergruppe von $ℤ$ . Nach Fakt gibt es ein eindeutig bestimmtes $c \geq 0$ mit

ℤ a_{1} \cap \dots \cap ℤ a_{k} = ℤ c .

Wegen $ℤ c \subseteq ℤ a_{i}$ für alle $i$ ist $c$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ , also ein gemeinsames Vielfaches der $a_{1}, \dots, a_{k}$ . Für jedes gemeinsame Vielfache $v$ dieser Elemente gilt

ℤ v \subseteq ℤ a_{1} \cap \dots \cap ℤ a_{k} .

Die Zahl $c$ besitzt also die Eigenschaft, dass jedes gemeinsame Vielfache der Elemente ein Vielfaches von $c$ ist. Daher ist $c$ das kleinste gemeinsame Vielfache.

Zur bewiesenen Aussage