Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Aufgabe ist der Durchschnitt der Untergruppen wieder eine Untergruppe von . Nach Fakt gibt es ein eindeutig bestimmtes mit

Wegen für alle ist ein Vielfaches von jedem , also ein gemeinsames Vielfaches der . Für jedes gemeinsame Vielfache dieser Elemente gilt

Die Zahl besitzt also die Eigenschaft, dass jedes gemeinsame Vielfache der Elemente ein Vielfaches von ist. Daher ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

Zur bewiesenen Aussage