Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Aufgabe ist der Durchschnitt der Untergruppen ${}\mathbb {Z} a_{i}$ wieder eine Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$. Nach Fakt gibt es ein eindeutig bestimmtes ${}c\geq 0$ mit

${}\mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}=\mathbb {Z} c\,.$

Wegen ${}\mathbb {Z} c\subseteq \mathbb {Z} a_{i}$ für alle ${}i$ ist ${}c$ ein Vielfaches von jedem ${}a_{i}$, also ein gemeinsames Vielfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$. Für jedes gemeinsame Vielfache ${}v$ dieser Elemente gilt

${}\mathbb {Z} v\subseteq \mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}\,.$

Die Zahl ${}c$ besitzt also die Eigenschaft, dass jedes gemeinsame Vielfache der Elemente ein Vielfaches von ${}c$ ist. Daher ist ${}c$ das kleinste gemeinsame Vielfache.

Zur bewiesenen Aussage