Z/Normiertes Polynom/Faserring/Reduziert/Idealprodukt/Fakt/Beweis2

Beweis

In ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$ liege die Faktorzerlegung

${}F=F_{1}^{r_{1}}\cdots F_{s}^{r_{s}}\,$

mit irreduziblen teilerfremden Polynomen ${}F_{j}$ vor. Wir behaupten, dass in ${}\mathbb {Z} [X]/(F)$ die Gleichheit

${}(p)=(p,F_{1}^{r_{1}})\cap \ldots \cap (p,F_{s}^{r_{s}})=(p,F_{1}^{r_{1}})\cdots (p,F_{s}^{r_{s}})\,$

gilt, wobei die letzte Gleichheit auf Fakt beruht. Zum Nachweis der linken Gleichheit sei

${}a=a_{1}p+b_{1}F_{1}^{r_{1}}=\ldots =a_{s}p+b_{s}F_{s}^{r_{s}}\,,$

es ist ${}a\in (p)$ zu zeigen. Modulo ${}p$ ist

${}a=b_{1}F_{1}^{r_{1}}=\ldots =b_{s}F_{s}^{r_{s}}\,$

in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$. Nach Fakt ist

${}\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(F_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p)[X]/(F_{s}^{r_{s}})\,.$

Die Voraussetzung bedeutet, dass ${}a$ in jeder Komponente ${}0$ ist, also insgesamt gleich ${}0$ ist.

Im reduzierten Fall sind die Exponenten gleich ${}1$ und daher liegt ein Produkt der Primideale ${}(p,F_{j})$ vor.

Zur bewiesenen Aussage