Zahlbereich/3te Wurzel aus q/pm 1 mod 9/Kähler-Differential/Beispiel

Es sei  ${}q=\pm 1\mod 9$  eine Primzahl und  ${}R=\mathbb {Z} [x,z]\subset \mathbb {Q} [X]/\left(X^{3}-q\right)$  mit  ${}z={\frac {1+qx+x^{2}}{3}}$  der Ganzheitsring, vergleiche Fakt. Der Modul der Kähler-Differentiale wird als ${}R$-Modul von ${}dx$ und ${}dz$ erzeugt. Wir behaupten, dass der Erzeuger ${}dz$ überflüssig ist, obwohl er als Algebraerzeuger nicht überflüssig ist. Dabei gilt

${}3dz=d3z=d\left(1+qx+x^{2}\right)=qdx+2xdx=(q+2x)dx\,.$

Ferner ist unter Verwendung von Aufgabe

${}xdz+zdx=dxz=d\left({\frac {1-q^{2}}{3}}x+qz\right)={\frac {1-q^{2}}{3}}dx+qdz\,,$

woraus wir

${}(x-q)dz=-zdx-{\frac {1-q^{2}}{3}}dx=-\left(z+{\frac {1-q^{2}}{3}}\right)dx\,$

gewinnen. Schließlich ist

${}2zdz=dz^{2}=d\left({\frac {q^{2}-1}{9}}+{\frac {-q^{3}-q}{9}}x+{\frac {q^{2}+2}{3}}z\right)={\frac {-q^{3}-q}{9}}dx+{\frac {q^{2}+2}{3}}dz\,,$

woraus wir

${}\left(2z-{\frac {q^{2}+2}{3}}\right)dz={\frac {-q^{3}-q}{9}}dx\,$

gewinnen. Wir können also verschiedene Vielfache von ${}dz$ als Vielfache von ${}dx$ ausdrücken. Wir betrachten das von den Vorfaktoren zu ${}dz$ erzeugte Ideal in ${}R$, also

$\left(3,x-q,2z-{\frac {q^{2}+2}{3}}\right).$

Dieses Ideal enthält ${}q^{3}-q$ als Vielfaches von ${}x-q$. Im Restklassenring wird also ${}x$ zu ${}q$ und ${}z$ wird zu

${}{\frac {1+qx+x^{2}}{3}}={\frac {1+2q^{2}}{3}}\,.$

Somit enthält das Ideal die Zahlen ${}3,q^{3}-q$ und

${}2{\frac {1+2q^{2}}{3}}-{\frac {q^{2}+2}{3}}=q^{2}\,.$

Da ${}3$ und ${}q$ teilerfremd sind, enthält es auch die ${}1$ und somit gibt es auch eine Darstellung von ${}dz$ als ein Vielfaches von ${}dx$.