Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt

Satz über die additive Struktur von Idealen in Zahlbereichen

Es sei  $\mathbb{Q}\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und $R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei $𝔞$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Es seien  $b_1,\dots ,b_n\in 𝔞$  Elemente, die eine $\mathbb{Q}$-Basis von $L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante

$|\Delta (b_1,\dots ,b_n)|$

unter all diesen Basen aus $𝔞$ minimal sei.

Dann ist

$𝔞=\mathbb{Z}{b}_1+\cdots +\mathbb{Z}{b}_n.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen