Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Es seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante

$\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})$

unter all diesen Basen aus ${}{\mathfrak {a}}$ minimal sei.

Zeige, dass dann

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$

ist.

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