Zahlbereich/Diskriminante/Nichtreduzierter Faserring/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei eine Ganzheitsbasis von . Die Matrix mit den Einträgen ist die Gramsche Matrix der Spurform. Die Gramsche Matrix der Spurform zu über bezüglich der -Basis entsteht daraus nach Fakt durch komponentenweise Reduktion. Da das Berechnen der Determinante mit beliebigen Ringwechseln verträglich ist, ist die Determinante von gleich der Determinante von (also der Diskriminante von ) modulo genommen. Somit ist genau dann ein Teiler der Diskriminante von , wenn die Diskriminante des Faserringes gleich ist. Dies ist nach Fakt äquivalent dazu, dass der Faserring nicht reduziert ist.