Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir haben die Zusammenstellung zu allen komplexen Einbettungen

\tau \colon R\longrightarrow {\mathbb {C} }^{r+2s}

und die reelle Gittereinbettung

\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s},

die durch die Einbettung

\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{r+2s},\,(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{1},\ldots ,z_{s})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{r};z_{1},{\overline {z_{1}}},\ldots ,z_{s},{\overline {z_{s}}})

miteinander verbunden sind.

Zu einer ${}\mathbb {Q}$ -Basis ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ von ${}Q(R)$ haben wir einerseits die reelle ${}n\times n$ -Matrix

{\left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{i})\right)},

die sich aus den reellen Einbettungen und Real- und Imaginärteil der komplexen Einbettungen zusammensetzt, und die komplexe ${}n\times n$ -Matrix

{\left(\tau _{j}(b_{i})\right)}.

Wenn man in dieser komplexen Matrix je zwei konjugierte Zeilen ${}w_{j}=\left(\tau _{j}(b_{1}),\,\tau _{j}(b_{2}),\,\ldots ,\,\tau _{j}(b_{n})\right)$ und ${}w_{j+1}={\overline {w_{j}}}=\left({\overline {\tau _{j}(b_{1})}},\,{\overline {\tau _{j}(b_{2})}},\,\ldots ,\,{\overline {\tau _{j}(b_{n})}}\right)$ die darin erste Zeile durch ihre Summe ersetzt und die zweite übernimmt (also ${}w_{j}+w_{j+1}$ und ${}w_{j+1}$ ), und dann die neue erste Zeile übernimmt und die zweite Zeile durch das ${}{\mathrm {i} }$ -fache der ersten Zeile minus das Doppelte der zweiten Zeile ersetzt (also ${}w_{j}+w_{j+1}$ und ${}{\mathrm {i} }(w_{j}+w_{j+1}-2w_{j+1})={\mathrm {i} }(w_{j}-w_{j+1})$ ), so erhält man das Doppelte der Realteilzeile und das Doppelte der Imaginärteilzeile. Deshalb gilt