Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {c}}$ die Idealklasse. Die inverse Idealklasse ${}{\mathfrak {c}}^{-1}$ sei durch das Ideal ${}{\mathfrak {b}}\subseteq R$ repräsentiert, siehe Fakt. Nach Fakt gibt es ein ${}f\in {\mathfrak {b}}$ mit

${}N(f)\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}N({\mathfrak {b}})\,.$

Dann ist ${}f\cdot {\mathfrak {b}}^{-1}$ ein Ideal, da ja ${}{\mathfrak {b}}^{-1}$ alle Elemente aus ${}{\mathfrak {b}}$ nach ${}R$ multipliziert, und das ${}{\mathfrak {c}}$ repräsentiert. Nach Fakt ist

${}N(f\cdot {\mathfrak {b}}^{-1})=N(f)N({\mathfrak {b}})^{-1}\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}N({\mathfrak {b}})N({\mathfrak {b}})^{-1}=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,.$

Zur bewiesenen Aussage