Zahlbereich/Ringhomomorphismus/Einheiten/Mögliche Wurzeln/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Norm der Körpererweiterung  ${}Q(R)\subseteq Q(S)$,  diese ergibt in ${}S$ die Gleichung

${}u^{d}=N(u)=N(v^{n})=N(v)^{n}\,.$

Nach Aufgabe gibt es ein  ${}w\in R$  und natürliche Zahlen ${}k,\ell$ und Einheitswurzeln ${}\zeta ,\xi$ in ${}R$ mit  ${}u=\zeta w^{k}$  und  ${}N(v)=\xi w^{\ell }$.  Nach Voraussetzung muss  ${}k=1$  sein. Damit ist

${}u^{d}=(\xi w^{\ell })^{n}=(\xi \zeta ^{-\ell }u^{\ell })^{n}=\eta u^{\ell n}\,$

mit einer Einheitswurzel ${}\eta$. Somit ist

 ${}d=\ell n$. 

Zur gelösten Aufgabe