Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/9. Kreisteilungsring/Aufgabe

Wir betrachten die Körperkette

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\subseteq K_{9}\,$

und die zugehörige Kette von Zahlbereichen

${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\subseteq R_{9}\,.$

Wenn ${}\zeta$ eine neunte primitive Einheitswurzel bezeichnet, so sei

${}X=\zeta +\zeta ^{-1}\,,$

vergleiche Aufgabe. Zeige, dass für jede Primzahl ${}p\neq 3$ in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$ eine der Beziehung

${}X^{p}={\begin{cases}X\\X^{2}-2\\-X^{2}-X+2\end{cases}}\,$

gilt. Zeige ferner, dass es allein von der Restklasse von ${}p$ modulo ${}9$ abhängt, welche der drei Fälle gilt.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen