Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/9. Kreisteilungsring/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}p\neq 3$ eine Primzahl mit dem Rest

${}p=a\mod 9\,$

(${}a=1,2,4,5,7,8$). Es sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal in ${}R_{9}$ oberhalb von ${}(p)$ und

${}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap S\,$

mit ${}S=\mathbb {Z} [\zeta +\zeta ^{-1}]=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\subseteq R_{9}$. Nach Bemerkung hat der Automorphismus ${}\zeta \mapsto \zeta ^{a}$ auf ${}R_{9}$ die Eigenschaft, dass er auf dem Faserring ${}R_{9}/pR_{9}$ den Frobenius-Homomorphismus induziert, zur Zerlegungsgruppe von ${}{\mathfrak {q}}$ gehört (und diese erzeugt) und auch im Restekörper ${}\kappa ({\mathfrak {q}})$ den Frobenius induziert. Nach Aufgabe und Aufgabe liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\operatorname {Gal} \,(R_{9}{|}\mathbb {Z} )_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\mathbb {Z} /(p))&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Gal} \,(Q(S){|}\mathbb {Z} )_{\mathfrak {p}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {p}}){|}\mathbb {Z} /(p))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, bei dem die horizontalen Abbildungen Isomorphismen sind und der Einschränkung links (die Einschränkung des Artinsymbols) die Einschränkung des Frobenius rechts entspricht. Dies bedeutet, dass der Frobenius auf ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$ der Einschränkung des Automorphismus ${}\zeta \mapsto \zeta ^{a}$ auf ${}S$ entspricht. Diese Einschränkung ist aber durch den Automorphismus ${}X=\zeta +\zeta ^{-1}\mapsto \zeta ^{a}+\zeta ^{-a}$ gegeben, und ${}X$ wird auf eine der in Aufgabe angeführten Nullstellen von ${}X^{3}-3X+1$ abgebildet. Die explizite Rechnung zeigt somit, dass dem Frobenius bei ${}a=1,8$ die Identität entspricht, bei ${}a=2,7$ die Abbildung ${}X\mapsto X^{2}-2$, und bei ${}a=4,5$

die Abbildung ${}X\mapsto -X^{2}-X+2$.

Zur gelösten Aufgabe