Zahlbereiche/Minimalpolynom mit ganzzahligen Koeffizienten/Fakt/Beweis

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Beweis

Das Minimalpolynom von über ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus . Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine Ganzheitsgleichung für über vor.

Sei umgekehrt ganz über , und sei ein normiertes ganzzahliges Polynom mit , das wir als irreduzibel in annehmen dürfen. Wir betrachten . Dort gilt

Da nach dem Lemma von Gauß ein irreduzibles Polynom von auch in irreduzibel ist, folgt und daher sind alle Koeffizienten von ganzzahlig.

Zur bewiesenen Aussage