Zahlbereiche/Minimalpolynom mit ganzzahligen Koeffizienten/Fakt/Beweis
Beweis
Das Minimalpolynom von über ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus . Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine Ganzheitsgleichung für über vor.
Es sei umgekehrt ganz über , und sei ein normiertes ganzzahliges Polynom mit , das wir als irreduzibel in annehmen dürfen. Wir betrachten . Dort gilt
![{\displaystyle {}S\in \mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4cfa11ff7617cb6934c52ba84ccf9c74b30d9c)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192c251bd578fa7224f44f5d4539c9813b31aa46)
![{\displaystyle {}S\in \mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33721b26bbb0f6b133ddcd65aeac1e5e2419790)
Da nach dem Lemma von Gauß ein irreduzibles Polynom von auch in irreduzibel ist, folgt und daher sind alle Koeffizienten von ganzzahlig.
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05854fb7f5090d865105d7297fa178c8eb802fbf)
