Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt ist (als abelsche Gruppen), wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis entsprechen möge. Das von in erzeugte Ideal besteht aus allen -Linearkombinationen der und somit entspricht das Ideal (unter dieser Identifizierung) der von erzeugten Untergruppe von . Die Restklassengruppe ist demnach gleich und besitzt Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach Aufgabe und aufgrund des Homomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus

so dass eine von verschiedene -Algebra ist.

Für eine Primzahl ist ein Vektorraum über der Dimension . Deshalb gibt es darin (mindestens) ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe einem maximalen Ideal in mit . Daher ist , und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich .

Zur bewiesenen Aussage