Zahlenraum/n Vektoren/Äquivalenzrelation durch gleichen Unterraum/Aufgabe

Es sei ${}V=K^{n}$ ein Vektorraum und ${}m\in \mathbb {N}$. Betrachte auf der Produktmenge ${}V^{m}$ die folgende Relation.

$(v_{1},\ldots ,v_{m})\sim (w_{1},\ldots ,w_{m}),{\text{ falls }}\langle v_{1},\ldots ,v_{m}\rangle =\langle w_{1},\ldots ,w_{m}\rangle .$

Die beiden Vektorentupel stehen also in Relation zueinander, wenn sie den gleichen Untervektorraum erzeugen. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Man gebe eine Bijektion zwischen der zugehörigen Quotientenmenge

und der Menge der Untervektorräume von ${}V$, die durch ${}m$ Vektoren erzeugt werden können.

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