Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Vorlesung 34

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Unterräume

Definition  

Es sei ein Körper und . Eine Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

  1. .
  2. Mit ist auch .
  3. Mit und ist auch .

Eine Familie von Vektoren heißt wieder ein Erzeugendensystem von , wenn man jeden Vektor aus als eine Linearkombination schreiben kann, und eine Basis von , wenn darüber hinaus diese Darstellung eindeutig ist. Mit einem Erzeugendensystem kann man einen Untervektorraum in der Form

beschreiben. Umgekehrt definiert dabei die rechte Seite stets einen Untervektorraum, der der von den Vektoren erzeugte Untervektorraum heißt. Er wird mit bezeichnet.



Lemma

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über .

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

Beweis

Siehe Aufgabe 34.5.


Für einen Untervektorraum gibt es grundsätzlich zwei Beschreibungsmöglichkeiten: Als Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems und als ein von Vektoren erzeugter Untervektorraum. Durch das Lösen eines linearen Gleichungssystems wird die zuerst genannte Darstellungsmöglichkeit in die zweite Darstellungsmöglichkeit umgewandelt. Man nennt zu einem homogenen linearen Gleichungssystem Lösungen Basislösungen, wenn man jede Lösung eindeutig als Linearkombination dieser Basislösungen darstellen kann.


Definition  

Es sei ein Körper und . Eine Teilmenge heißt (affiner) Unterraum, wenn ( leer ist oder) es einen Untervektorraum und einen Punkt mit

gibt.

Statt von einem Unterraum spricht man auch von einem affinen Unterraum. Der Punkt heißt ein Aufpunkt des Raumes und heißt der zugehörige Untervektorraum. Ein Unterraum ist ein in eine bestimmte Richtung parallel verschobener Untervektorraum, wobei der Aufpunkt den Verschiebungsvektor bezeichnet.



Lemma  

Es sei ein Körper und

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über .

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner) Unterraum des . Dabei kann man jede Lösung als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.

Beweis  

Sei die Lösungsmenge nicht leer und sei ein beliebig gewählter Punkt. Es sei der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach Lemma 34.2 ein Untervektorraum von ist. Wir müssen die Mengengleichheit zeigen. Wenn ist, so bedeutet dies

für alle . Für ist dann

also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist . Wenn umgekehrt eine Lösung ist, so ist

und diese Differenz erfüllt

Also ist und somit .


Wenn man also die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems beschreiben möchte, so nimmt man eine spezielle Lösung als Aufpunkt und eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Gleichungssystems.

Der leere Raum und jeder einzelne Punkt ist für sich ein affiner Unterraum. Richtig interessant wird es mit Geraden.


Definition  

Unter einer Geraden (in Punktvektorform) versteht man einen affinen Unterraum der Form

mit einem von verschiedenen Vektor und einem Aufpunkt .

Man spricht auch von der Punktrichtungsform oder der Parameterdarstellung der Geraden, wobei das als Parameter bezeichnet wird. Für eine Gerade gibt es stets die bijektive Abbildung

die auch eine Parametrisierung der Geraden heißt.



Geraden in der Ebene

Wir besprechen die vorstehenden Begriffe und Aussagen in niedrigen Dimensionen.

Wir betrachten Geraden in der Ebene . Unter der Gleichungsform einer Geraden in der Ebene versteht man eine lineare Gleichung der Form

mit . Es ist einfach, aus der Gleichungsform eine Punktrichtungsform zu erhalten.



Korollar  

Es sei ein Körper und sei

eine lineare Gleichung in zwei Variablen über mit .

Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade in . Als Richtungsvektor kann man den Vektor nehmen.

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 34.4, da eine Basislösung der zugehörigen homogenen linearen Gleichung ist.


Two parallel lines a b.svg
OpenMeanderM1.svg



Korollar

Es seien im zwei Geraden und in Gleichungsform durch

bzw.

(mit und ) gegeben.

Dann ist der Durchschnitt der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems, das aus diesen beiden Gleichungen besteht. Dabei gibt es die drei Möglichkeiten:

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.

Beweis

Siehe Aufgabe 34.15.

Im zweiten Fall (manchmal auch im ersten Fall) spricht man von parallelen Geraden. Der dritte Fall tritt genau dann ein, wenn zwischen und keine Vielfachheitsbeziehung besteht.


Beispiel  

Wir berechnen zu den durch

bzw.

gegebenen Geraden den Durchschnitt. Wenn man von der zweiten Gleichung das -fache der ersten Gleichung abzieht, so erhält man

also

und somit

und

Der Durchschnitt besteht also aus einem einzigen Schnittpunkt mit den Koordinaten .




Geraden und Ebenen im Raum

Definition  

Unter einer Ebene (in Punktvektorform oder Parameterform) versteht man einen affinen Unterraum der Form

mit zwei Vektoren , die kein Vielfaches voneinander[1] sind, und einem Aufpunkt .

Dabei heißen hier die Zahlen die Parameter. Für eine Ebene gibt es stets die bijektive Abbildung

die auch eine Parametrisierung der Ebene heißt. Die Bijektivität beruht dabei darauf, dass keine Vielfachheitsbeziehung zwischen den Richtungsvektoren und besteht.



Lemma  

Es sei ein Körper und sei

eine lineare Gleichung in drei Variablen über mit .

Dann ist die Lösungsmenge eine Ebene im . Wenn ist, so kann man als Richtungsvektoren die beiden Vektoren und nehmen.

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 34.4 und daraus, dass die beiden angegebenen Vektoren offenbar Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Gleichung sind, die wegen kein Vielfaches voneinander sind. Man kann auch jede Lösung als Linearkombination dieser beiden Lösungen schreiben, es ist nämlich

Also handelt es sich um Basislösungen.



Beispiel  

Wir betrachten die Menge

Nach Lemma 34.10 hat diese Ebene in Punktrichtungsform die Beschreibung


Zwei Ebenen im Raum, die sich in einer Geraden schneiden.

Beispiel  

Wir betrachten die beiden Mengen

(aus Beispiel 34.11) und

und interessieren uns für den Durchschnitt

Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen (nennen wir sie und ), erfüllt, es geht also um die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

Mit dem Eliminationsverfahren erhält man die Gleichung

Daher ist

und

sein. Somit ist


Wir besprechen ein geometrisches Beispiel ähnlich zu Beispiel 34.12, wobei jetzt die Gleichungen nicht homogen sehen müssen.


Beispiel  

Im seien zwei Ebenen

und

gegeben. Wie kann man die Schnittgerade beschreiben? Ein Punkt liegt genau dann auf der Schnittgerade, wenn er die beiden Ebenengleichungen erfüllt; es muss also sowohl

gelten. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit und ziehen davon das -fache der zweiten Gleichung ab und erhalten

Wenn man setzt, so muss sein und . D.h. der Punkt gehört zu . Ebenso findet man, indem man setzt, den Punkt . Damit ist die Schnittgerade die Verbindungsgerade dieser Punkte, also




Fußnoten
  1. D.h. dass weder noch der Nullvektor ist und dass der eine Vektor nicht ein Vielfaches des anderen Vektors ist.


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