Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Vorlesung 34

Unterräume

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n \in ℕ$ . Eine Teilmenge $U \subseteq K^{n}$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

Es ist $0 \in U$ .
Mit $u, v \in U$ ist auch $u + v \in U$ .
Mit $u \in U$ und $s \in K$ ist auch $s u \in U$ .

Eine Familie von Vektoren $v_{1}, \dots, v_{k} \in U$ heißt wieder ein Erzeugendensystem von $U$ , wenn man jeden Vektor aus $U$ als eine Linearkombination $u = \sum_{i = 1}^{k} s_{i} v_{i}$ schreiben kann, und eine Basis von $U$ , wenn darüber hinaus diese Darstellung eindeutig ist. Mit einem Erzeugendensystem kann man einen Untervektorraum $U$ in der Form

U = {\sum_{i = 1}^{k} s_{i} v_{i} ∣ s_{i} \in K}

beschreiben. Umgekehrt definiert dabei die rechte Seite stets einen Untervektorraum, der der von den Vektoren $v_{1}, \dots, v_{k}$ erzeugte Untervektorraum heißt. Er wird mit $⟨ v_{1}, \dots, v_{k} ⟩$ bezeichnet.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und

\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{matrix}

ein homogenes lineares Gleichungssystem über $K$ .

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des $K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

Beweis

Siehe Aufgabe 34.5.

◻

Für einen Untervektorraum $U \subseteq K^{n}$ gibt es grundsätzlich zwei Beschreibungsmöglichkeiten: Als Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems und als ein von Vektoren erzeugter Untervektorraum. Durch das Lösen eines linearen Gleichungssystems wird die zuerst genannte Darstellungsmöglichkeit in die zweite Darstellungsmöglichkeit umgewandelt.

Bemerkung

Man nennt zu einem homogenen linearen Gleichungssystem Lösungen $v_{1}, \dots, v_{k}$ Basislösungen, wenn man jede Lösung eindeutig als Linearkombination dieser Basislösungen darstellen kann. Wenn ein solches System in den Variablen $x_{1}, \dots, x_{n}$ gegeben ist, und wenn man die freien Variablen $x_{i_{1}}, \dots, x_{i_{k}}$ identifiziert hat, so erhält man Basislösungen, wenn man diese freien Variablen an einer Stelle mit $1$ und sonst mit $0$ belegt und die anderen Einträge der abhängigen Variablen jeweils ausrechnet.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $n \in ℕ_{+}$ . Eine Teilmenge $S \subseteq K^{n}$ heißt affiner Unterraum, wenn ( $S$ leer ist oder) es einen Untervektorraum $U \subseteq K^{n}$ und einen Punkt $P \in K^{n}$ mit

S = P + U = {P + v ∣ v \in U}

gibt.

Statt von einem affinen Unterraum spricht man manchmal schlicht von einem Unterraum. Der Punkt $P$ heißt ein Aufpunkt des Raumes und $U$ heißt der zugehörige Untervektorraum. Ein affiner Unterraum ist ein in eine bestimmte Richtung parallel verschobener Untervektorraum, wobei der Aufpunkt den Verschiebungsvektor bezeichnet.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und

\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = & c_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = & c_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & = & c_{m} \end{matrix}

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$ .

Dann ist die Menge $S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner) Unterraum des $K^{n}$ . Dabei kann man jede Lösung $P \in S$ als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.

Beweis

Es sei die Lösungsmenge $S$ nicht leer und sei $P = (\begin{matrix} p_{1} \\ ⋮ \\ p_{n} \end{matrix}) \in S$ ein beliebig gewählter Punkt. Es sei $U$ der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach Lemma 34.2 ein Untervektorraum von $K^{n}$ ist. Wir müssen die Mengengleichheit $S = P + U$ zeigen. Wenn $v = (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) \in U$ ist, so bedeutet dies

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} v_{j} = 0

für alle $i = 1, \dots, m$ . Für $P + v = (\begin{matrix} p_{1} + v_{1} \\ ⋮ \\ p_{n} + v_{n} \end{matrix})$ ist dann

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} (p_{j} + v_{j}) = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} p_{j} + \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} v_{j} = c + 0 = c,

also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist $P + v \in S$ . Wenn umgekehrt $Q = (\begin{matrix} q_{1} \\ ⋮ \\ q_{n} \end{matrix}) \in S$ eine Lösung ist, so ist

Q - P = (\begin{matrix} q_{1} - p_{1} \\ ⋮ \\ q_{n} - p_{n} \end{matrix})

und diese Differenz erfüllt

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} (q_{j} - p_{j}) = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} q_{j} - \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} p_{j} = c - c = 0 .

Also ist $Q - P \in U$ und somit $Q = P + (Q - P) \in P + U$ .

◻

Wenn man also die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems beschreiben möchte, so nimmt man eine spezielle Lösung als Aufpunkt und eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Gleichungssystems.

Der leere Raum und jeder einzelne Punkt ist für sich ein affiner Unterraum. Richtig interessant wird es mit Geraden.

Definition

Unter einer Geraden (in Punktvektorform) versteht man einen affinen Unterraum $G \subseteq K^{n}$ der Form

G = P + K v = {P + s v ∣ s \in K}

mit einem von $0$ verschiedenen Vektor $v \in K^{n}$ und einem Aufpunkt $P \in K^{n}$ .

Man spricht auch von der Punktrichtungsform oder der Parameterdarstellung der Geraden, wobei das $s$ als Parameter bezeichnet wird. Für eine Gerade gibt es stets die bijektive Abbildung

K ⟶ G, s ⟼ P + s v,

die auch eine Parametrisierung der Geraden heißt.

Geraden in der Ebene

Wir besprechen die vorstehenden Begriffe und Aussagen in niedrigen Dimensionen.

Wir betrachten Geraden in der Ebene $K^{2}$ . Unter der Gleichungsform einer Geraden in der Ebene versteht man eine lineare Gleichung der Form

a x + b y = c

mit $(a, b) \neq (0, 0)$ . Es ist einfach, aus der Gleichungsform eine Punktrichtungsform zu erhalten.

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und sei

a x + b y = c

eine lineare Gleichung in zwei Variablen über $K$ mit $(a, b) \neq 0$ .

Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade in $K^{2}$ . Als Richtungsvektor kann man den Vektor $(\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})$ nehmen.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 34.5, da $(\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})$ eine Basislösung der zugehörigen homogenen linearen Gleichung $a x + b y = 0$ ist.

◻

Korollar

Es seien im $K^{2}$ zwei Geraden $G$ und $H$ in Gleichungsform durch

a x + b y = c

bzw.

r x + s y = d

(mit $(a, b) \neq (0, 0)$ und $(r, s) \neq (0, 0)$ ) gegeben.

Dann ist der Durchschnitt $G \cap H$ der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems, das aus diesen beiden Gleichungen besteht. Dabei gibt es die drei Möglichkeiten:

Es ist $G = H$ .

Es ist $G \cap H = \emptyset$ .

Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.

Beweis

Siehe Aufgabe 34.15.

◻

Im zweiten Fall (manchmal auch im ersten Fall) spricht man von parallelen Geraden. Der dritte Fall tritt genau dann ein, wenn zwischen $(a, b)$ und $(r, s)$ keine Vielfachheitsbeziehung besteht.

Beispiel

Wir berechnen zu den durch

4 x - 7 y = 13

bzw.

5 x - 8 y = - 9

gegebenen Geraden den Durchschnitt. Wenn man von der zweiten Gleichung das $\frac{5}{4}$ -fache der ersten Gleichung abzieht, so erhält man

(- 8 + \frac{5}{4} \cdot 7) y = - 9 - \frac{5}{4} \cdot 13,

also

\frac{3}{4} y = - \frac{101}{4}

und somit

y = - \frac{101}{3}

und

x = - \frac{167}{3} .

Der Durchschnitt besteht also aus einem einzigen Schnittpunkt mit den Koordinaten $(- \frac{167}{3}, - \frac{101}{3})$ .

Geraden und Ebenen im Raum

Definition

Unter einer Ebene (in Punktvektorform oder Parameterform) versteht man einen affinen Unterraum $E \subseteq K^{n}$ der Form

E = P + K v + K w = {P + s v + t w ∣ s, t \in K}

mit zwei Vektoren $v, w \in K^{n}$ , die keine Vielfachen voneinander^[1] sind, und einem Aufpunkt $P \in K^{n}$ .

Dabei heißen hier die Zahlen $s, t$ die Parameter. Für eine Ebene gibt es stets die bijektive Abbildung

K^{2} ⟶ G, (s, t) ⟼ P + s v + t w,

die auch eine Parametrisierung der Ebene heißt. Die Bijektivität beruht dabei darauf, dass keine Vielfachheitsbeziehung zwischen den Richtungsvektoren $v$ und $w$ besteht.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei

a x + b y + c z = d

eine lineare Gleichung in drei Variablen über $K$ mit $(a, b, c) \neq 0$ .

Dann ist die Lösungsmenge eine Ebene im $K^{3}$ . Wenn $a \neq 0$ ist, so kann man als Richtungsvektoren die beiden Vektoren $(\begin{matrix} b \\ - a \\ 0 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} c \\ 0 \\ - a \end{matrix})$ nehmen.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 34.5 und daraus, dass die beiden angegebenen Vektoren offenbar Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Gleichung sind, die wegen $a \neq 0$ kein Vielfaches voneinander sind. Man kann auch jede Lösung als Linearkombination dieser beiden Lösungen schreiben, es ist nämlich

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = - \frac{y}{a} (\begin{matrix} b \\ - a \\ 0 \end{matrix}) - \frac{z}{a} (\begin{matrix} c \\ 0 \\ - a \end{matrix}) .

Also handelt es sich um Basislösungen.

◻

Beispiel

Wir betrachten die Menge

E = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℚ^{3} ∣ 5 x - y + 3 z = 0} .

Nach Lemma 34.11 hat diese Ebene in Punktrichtungsform die Beschreibung

E = {r (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) ∣ r, s \in ℚ} .

Beispiel

Wir betrachten die beiden Mengen

E = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℚ^{3} ∣ 5 x - y + 3 z = 0}

(aus Beispiel 34.12) und

F = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℚ^{3} ∣ 4 x + 2 y - 7 z = 0}

und interessieren uns für den Durchschnitt

G := E \cap F = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℚ^{3} ∣ 5 x - y + 3 z = 0 und 4 x + 2 y - 7 z = 0} .

Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen (nennen wir sie $I$ und $I I$ ), erfüllt. Gibt es eine „einfachere“ Beschreibung dieser Durchschnittsmenge? Ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt, erfüllt auch die Gleichung, die entsteht, wenn man die beiden Gleichungen miteinander addiert oder die Gleichungen mit einer Zahl $s \in ℚ$ multipliziert. Eine solche Linearkombination der Gleichungen ist beispielsweise

4 I - 5 I I = - 14 y + 47 z = 0 .

Daher ist

\begin{matrix} G & = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℚ^{3} ∣ 5 x - y + 3 z = 0 und 4 x + 2 y - 7 z = 0} \\ = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℚ^{3} ∣ 5 x - y + 3 z = 0 und - 14 y + 47 z = 0}, \end{matrix}

da man aus der neuen zweiten Gleichung die alte zweite Gleichung zurückkonstruieren kann und daher die Bedingungen links und rechts insgesamt äquivalent sind. Der Vorteil der zweiten Beschreibung ist, dass man die Variable $x$ in der neuen zweiten Gleichung eliminiert hat. Daher kann man nach $y$ auflösen und erhält

y = \frac{47}{14} z

und für $x$ muss dann

x = \frac{1}{5} y - \frac{3}{5} z = \frac{1}{5} \cdot \frac{47}{14} z - \frac{3}{5} z = \frac{47}{70} z - \frac{42}{70} z = \frac{1}{14} z

sein. Auch diese beiden aufgelösten Gleichungen sind zusammen äquivalent zu den beiden ersten und somit ist

G = {(\begin{matrix} \frac{1}{14} z \\ \frac{47}{14} z \\ z \end{matrix}) ∣ z \in ℚ} .

Diese Beschreibung liefert einen expliziteren Überblick über die Menge $G$ .

Wir besprechen ein geometrisches Beispiel ähnlich zu Beispiel 34.13, wobei jetzt die Gleichungen nicht homogen sein müssen.

Beispiel

Im $ℝ^{3}$ seien zwei Ebenen

E = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ 4 x - 2 y - 3 z = 5}

und

F = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ 3 x - 5 y + 2 z = 1}

gegeben. Wie kann man die Schnittgerade $G = E \cap F$ beschreiben? Ein Punkt $P = (x, y, z)$ liegt genau dann auf der Schnittgerade, wenn er die beiden Ebenengleichungen erfüllt; es muss also sowohl

4 x - 2 y - 3 z = 5 als auch 3 x - 5 y + 2 z = 1

gelten. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $3$ und ziehen davon das $4$ -fache der zweiten Gleichung ab und erhalten

14 y - 17 z = 11 .

Wenn man $y = 0$ setzt, so muss $z = - \frac{11}{17}$ und $x = \frac{13}{17}$ sein. D.h. der Punkt $P = (\frac{13}{17}, 0, - \frac{11}{17})$ gehört zu $G$ . Ebenso findet man, indem man $z = 0$ setzt, den Punkt $Q = (\frac{23}{14}, \frac{11}{14}, 0)$ . Damit ist die Schnittgerade die Verbindungsgerade dieser Punkte, also

G = {(\frac{13}{17}, 0, - \frac{11}{17}) + t (\frac{209}{238}, \frac{11}{14}, \frac{11}{17}) ∣ t \in ℝ} .

Fußnoten

↑ D.h. dass weder $v$ noch $w$ der Nullvektor ist und dass der eine Vektor nicht ein Vielfaches des anderen Vektors ist.

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[1] D.h. dass weder $v$ noch $w$ der Nullvektor ist und dass der eine Vektor nicht ein Vielfaches des anderen Vektors ist.

[1]