Zirkel und Lineal/Würfelverdoppelung/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir betrachten einen Würfel mit der Kantenlänge ${}1$ und dem Volumen ${}1$. Die Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen würde bedeuten, dass man die neue Kantenlänge, also ${}2^{1/3}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren könnte. Das Minimalpolynom von ${}2^{1/3}$ ist ${}X^{3}-2$, da dieses offenbar ${}2^{1/3}$ annulliert und nach Fakt irreduzibel ist, da in ${}\mathbb {Q}$ keine dritte Wurzel aus ${}2$ existiert. Nach Fakt ist ${}2^{1/3}$ nicht konstruierbar, da ${}3$ keine Zweierpotenz ist.

Zur bewiesenen Aussage