Zweidimensionale Sphäre/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Cech/Beispiel

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Sphäre ${}S^{2}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu offenen Kreisscheiben homöomorphen) überlappenden Schalen ${}S^{2}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}$ homöomorph zum Produkt ${}S^{1}\times I$ mit einem offenen Intervall ${}I$ ist. Es sei ${}G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${}{\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen also lokal konstanten ${}G$-wertigen Funktionen auf der Sphäre. Auf ${}U_{1}$ bzw. ${}U_{2}$ und ebenso auf ${}U_{1}\cap U_{2}$ sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Der relevante Čech-Komplex ist daher

$\Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\cong G\longrightarrow 0,$

wobei ${}(f,g)$ auf ${}g-f$ abgebildet wird. Diese Abbildung ist surjektiv. Die erste Čech-Kohomologie ist daher ${}{\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},{\mathcal {G}})\cong 0$.