Zweidimensionaler Graph/Hauptkrümmungen/Beispiel

Es sei ${}Y$ der Graph zu einer zweifach stetig differenzierbaren Funktion ${}f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(x,y)\longmapsto f(x,y)$, auf einer offenen Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Nach Fakt ist die Weingartenabbildung (zu dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld) in jedem Punkt ${}P=(Q,f(Q))$ gemäß Beispiel durch

${\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\end{pmatrix}}$

gegeben. Die Hauptkrümmungsrichtungen kann man direkt mit der Hesse-Matrix ausrechnen, für die Hauptkrümmungen muss man den Vorfaktor mitberücksichtigen. Die Gaußkrümmung ist

${\frac {1}{1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}\det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\end{pmatrix}}.$