Zweidimensionales Gitter/(0,2) und (3,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe

Wir betrachten in der Gruppe ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}$ die Untergruppe

${}U=\langle {\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\rangle ={\left\{a{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

und die zugehörige Äquivalenzrelation.

a) Skizziere die Punkte (eine sinnvolle Auswahl) aus ${}U$ (als Punkte in ${}\mathbb {Z} ^{2}$) mit einer Farbe.

b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen).

c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.

d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?

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