Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Aufgrund von Fakt gibt es ein derart, dass die Hesse-Form negativ definit für alle ist. Für alle Vektoren , , gibt es nach Fakt ein mit

wobei die zweite Identität auf Aufgabe beruht. Da die Hesse-Form negativ definit ist, steht rechts für eine Zahl, die echt kleiner als ist. Daher liegt ein isoliertes lokales Maximum vor.
(2) wird wie (1) bewiesen oder durch betrachten von darauf zurückgeführt.
(3). Sei indefinit. Dann gibt es Vektoren und mit

Wegen der stetigen Abhängigkeit der Hesse-Form gelten diese Abschätzungen auch für für aus einer offenen Umgebung von (mit den gleichen Vektoren und ). Wir können durch Skalierung von und annehmen, dass und zu dieser Umgebung gehören. Wie im Beweis zu Teil (1) gilt daher ( und sind nicht )

und

mit . Also kann in kein Extremum vorliegen.