Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Offenheit der positiv definiten Hesse-Form/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$, und sei ${}H(Q)$ die Gramsche Matrix zur Hesse-Form ${}\operatorname {Hess} _{Q}\,f$ im Punkt ${}Q\in G$ bezüglich dieser Basis. Aufgrund der Differenzierbarkeitsvoraussetzungen hängt ${}H(Q)$ stetig von ${}Q$ ab. Daher hängen auch die Determinanten der quadratischen Untermatrizen von ${}H(Q)$ stetig von ${}Q$ ab. Die Determinanten

${}D_{k}(P)=\det((H(P)_{i,j})_{1\leq i,j\leq k})\,$

sind nach Fakt alle von ${}0$ verschieden. Daher gibt es eine offene Umgebung ${}U$, ${}P\in U\subseteq G$, derart, dass für alle ${}Q\in U$ die Determinanten

${}D_{k}(Q)=\det((H(Q)_{i,j})_{1\leq i,j\leq k})\,$

das gleiche Vorzeichen haben wie ${}D_{k}(P)$. Da diese Vorzeichen nach Fakt über die Definitheit entscheiden, folgt die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage