Zyklische Gruppe/Mehrdimensionale Einheitswurzel-Darstellung/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\in K$ seien Einheitswurzeln. Dann ist

${\left\{{\begin{pmatrix}\zeta _{1}^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta _{2}^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta _{n-1}^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta _{n}^{i}\end{pmatrix}}\mid i=0,1,\ldots \right\}},$

eine zyklische Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$. Ihre Ordnung ist das kleinste gemeinsame Vielfache (nennen wir es ${}r$) der Ordnungen der ${}\zeta _{j}$. Die Zuordnung

$\mathbb {Z} /(r)\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,i\longmapsto {\begin{pmatrix}\zeta _{1}^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta _{2}^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta _{n-1}^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta _{n}^{i}\end{pmatrix}},$

ist eine ${}n$-dimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.