Abbildung/Lineare Algebra/Textabschnitt

Wir besprechen zwei Beispielklassen von Abbildungen, die im Rahmen der linearen Algebra besonders wichtig sind, da es sich um sogenannte lineare Abbildungen handelt.

Beispiel

Es sei $a \in ℝ$ fixiert. Diese reelle Zahl definiert eine Abbildung

ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ a x .

Bei $a = 0$ liegt die konstante Nullabbildung vor. Bei $a \neq 0$ liegt eine bijektive Abbildung mit der Umkehrabbildung

y ⟶ \frac{1}{a} y

vor. Die Umkehrabbildung hat hier also eine ähnliche Bauart wie die Ausgangsabbildung.

Beispiel

Es sei eine $m \times n$ -Matrix

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})

gegeben, wobei die Einträge $a_{i j}$ reelle Zahlen seien. Eine solche Matrix definiert eine Abbildung

φ : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{m},

indem ein $n$ -Tupel $x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) \in ℝ^{n}$ auf das $m$ -Tupel

φ (x) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sum_{j = 1}^{n} a_{1 j} x_{j} \\ \sum_{j = 1}^{n} a_{2 j} x_{j} \\ ⋮ \\ \sum_{j = 1}^{n} a_{m j} x_{j} \end{matrix})

abgebildet wird. Die $i$ -te Komponente des Bildvektors ergibt sich also als^[1]

y_{i} = (a_{i 1}, a_{i 2}, \dots, a_{i n}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j},

man muss also die $i$ -te Zeile der Matrix in der beschriebenen Weise auf den Spaltenvektor $x$ anwenden.

Es ist ein Ziel der linearen Algebra, in Abhängigkeit von den Einträgen $a_{i j}$ zu bestimmen, ob die dadurch definierte Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist und welche Gestalt im Falle der Bijektivität die Umkehrabbildung besitzt.

Beispiel

Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium (jeweils in Milligramm) unterschiedliche Früchte (pro 100 Gramm) besitzen.

Frucht	Vitamin C	Calcium	Magnesium
Apfel	12	7	6
Orange	53	40	10
Traube	4	12	8
Banane	9	5	27

Dies führt zu einer Abbildung, die einem $4$ -Tupel $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix})$ , das die verarbeiteten (oder verzehrten) Früchte beschreibt, den Gesamtgehalt des Obstsalats an Vitamin C, Calcium und Magnesium in Form eines $3$ -Tupels $(\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix})$ zuordnet. Diese Abbildung kann mit der Matrix

(\begin{matrix} 12 & 53 & 4 & 9 \\ 7 & 40 & 12 & 5 \\ 6 & 10 & 8 & 27 \end{matrix})

unter Verwendung der Matrixmultiplikation als Zuordnung

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) ⟼ (\begin{matrix} 12 & 53 & 4 & 9 \\ 7 & 40 & 12 & 5 \\ 6 & 10 & 8 & 27 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12 x_{1} + 53 x_{2} + 4 x_{3} + 9 x_{4} \\ 7 x_{1} + 40 x_{2} + 12 x_{3} + 5 x_{4} \\ 6 x_{1} + 10 x_{2} + 8 x_{3} + 27 x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix})

beschrieben werden.

↑ Das Summenzeichen $\sum$ ist für gegebene reelle Zahlen $a_{1}, \dots, a_{n}$ durch $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} := a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}$ definiert.

[1] Das Summenzeichen $\sum$ ist für gegebene reelle Zahlen $a_{1}, \dots, a_{n}$ durch $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} := a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}$ definiert.

[1]