Abgeschlossenes Intervall/Funktion/Gleichmäßig stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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 Wir nehmen an, dass nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein mit der Eigenschaft, dass es für alle ein Punktepaar mit und gibt. Insbesondere gibt es somit für jedes eine Punktepaar mit und . Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge eine in konvergente Teilfolge, deren Grenzwert, nennen wir ihn , wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge gegen konvergiert. Die Folge konvergiert ebenfalls gegen . Wegen der Stetigkeit konvergieren dann nach dem Folgenkriterium auch die beiden Bildfolgen und gegen . Es sei nun . Dann ist für hinreichend groß sowohl als auch . Dies ergibt mit der Dreiecksungleichung

einen Widerspruch zu .
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