Abstand/Punkt zu affinem Unterraum/Beispiel

Es sei ${}E$ ein reeller affiner Raum über einem euklidischen Vektorraum ${}V$, ${}P\in E$ ein Punkt und ${}F\subseteq E$ ein affiner Unterraum. Bei ${}P\in F$ ist der Abstand von ${}P$ zu ${}F$ gleich ${}0$. Im Allgemeinen schreibt man

${}F=Q+U\,$

mit einem Aufpunkt ${}Q\in F$ und mit einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ und bestimmt das orthogonale Komplement ${}W=U^{\perp }$ von ${}U$ in ${}V$. Wenn ${}u_{1},\ldots ,u_{m}$ eine Basis von ${}U$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{k}$ eine Basis von ${}W$ ist, so gibt es eine eindeutige Darstellung

${}{\overrightarrow {PQ}}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{k}b_{j}w_{j}\,.$

Es ist dann

${}L=P+\sum _{j=1}^{k}b_{j}w_{j}=Q-\sum _{i=1}^{m}a_{i}u_{i}\,$

der Lotfußpunkt von ${}P$ auf ${}F$ und der Abstand von ${}P$ zu ${}L$ ist

${}d{\left(P,F\right)}=d{\left(P,L\right)}=\Vert {\sum _{j=1}^{k}b_{j}w_{j}}\Vert \,.$

Wenn die ${}w_{j}$ eine Orthonormalbasis von ${}U$ bilden, so ist dies gleich ${}{\sqrt {\sum _{j=1}^{k}b_{j}^{2}}}$.